From c470d4f05275a607347ade248f1f9295be0ca4bc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ZoltyKaplan Date: Mon, 18 May 2026 16:40:38 +0200 Subject: [PATCH] Initial QAML question data --- .github/pull_request_template.md | 17 + .github/workflows/validate.yml | 14 + .gitignore | 6 + CONTRIBUTING.md | 13 + README.md | 203 +++++++ img/fakturka.png | Bin 0 -> 60016 bytes img/zad_20_sterna_2019-2020.png | Bin 0 -> 685 bytes pytania.txt | 893 +++++++++++++++++++++++++++++++ tools/validate_qaml.php | 90 ++++ 9 files changed, 1236 insertions(+) create mode 100644 .github/pull_request_template.md create mode 100644 .github/workflows/validate.yml create mode 100644 .gitignore create mode 100644 CONTRIBUTING.md create mode 100644 README.md create mode 100644 img/fakturka.png create mode 100644 img/zad_20_sterna_2019-2020.png create mode 100644 pytania.txt create mode 100644 tools/validate_qaml.php diff --git a/.github/pull_request_template.md b/.github/pull_request_template.md new file mode 100644 index 0000000..8622dbd --- /dev/null +++ b/.github/pull_request_template.md @@ -0,0 +1,17 @@ +## Co zmieniasz? + +- [ ] poprawiam treść pytania +- [ ] poprawiam odpowiedź +- [ ] dodaję nowe pytanie +- [ ] dodaję/zmieniam obrazek w `img/` +- [ ] usuwam duplikat albo błąd + +## Źródło / uzasadnienie + +Opisz krótko skąd pochodzi poprawka albo dlaczego obecna wersja jest błędna. + +## Checklist + +- [ ] każde pytanie i każda odpowiedź mieści się w jednej linii +- [ ] każda odpowiedź zaczyna się od `-` albo `-|` +- [ ] obrazki użyte jako `img/...` istnieją w repozytorium diff --git a/.github/workflows/validate.yml b/.github/workflows/validate.yml new file mode 100644 index 0000000..9e8ee56 --- /dev/null +++ b/.github/workflows/validate.yml @@ -0,0 +1,14 @@ +name: Validate QAML + +on: + pull_request: + push: + branches: [main] + +jobs: + validate: + runs-on: ubuntu-latest + steps: + - uses: actions/checkout@v4 + - name: Validate pytania.txt + run: php tools/validate_qaml.php pytania.txt diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..b0adfa1 --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,6 @@ +ip.txt +ip.txt.old +*.log +*.bak +*.old +.DS_Store diff --git a/CONTRIBUTING.md b/CONTRIBUTING.md new file mode 100644 index 0000000..0e163d2 --- /dev/null +++ b/CONTRIBUTING.md @@ -0,0 +1,13 @@ +# Jak zgłaszać poprawki + +Poprawki zgłaszamy przez Pull Request. + +Najczęstsze dobre zmiany: + +- poprawienie literówki, +- oznaczenie prawidłowej odpowiedzi jako `-|`, +- usunięcie błędnej odpowiedzi, +- dopisanie źródła w komentarzu `//`, +- dodanie brakującego obrazka do `img/`. + +Nie zmieniaj formatu pliku na pełny Markdown, JSON, CSV ani HTML. To repozytorium używa prostego formatu QAML opisanego w `README.md`. diff --git a/README.md b/README.md new file mode 100644 index 0000000..bc843dd --- /dev/null +++ b/README.md @@ -0,0 +1,203 @@ +# Baza pytań quizu + +To repozytorium zawiera dane quizu: `pytania.txt` oraz opcjonalny katalog `img/` z obrazkami używanymi w pytaniach. + +Kod aplikacji nie jest częścią tego repozytorium. Zmiany w pytaniach należy zgłaszać przez Pull Request. + +## QAML — Question Answer Markdown Lines + +QAML to prosty liniowy format zapisu pytań testowych wielokrotnego wyboru. + +Format wygląda jak Markdown, ale jego składnia strukturalna jest znacznie prostsza. Parser nie analizuje pełnego Markdowna. Interpretuje wyłącznie początki linii: + +- linia pytania, +- linia odpowiedzi błędnej, +- linia odpowiedzi poprawnej, +- komentarz, +- pusta linia. + +Treść pytania i odpowiedzi może zawierać Markdown, HTML oraz inline LaTeX, ale parser traktuje je jako zwykły tekst. + +## Minimalny przykład + +```text +// Przykładowa sekcja + +Zaznacz zdania prawdziwe +- To jest odpowiedź błędna. +-| To jest odpowiedź poprawna. +- To jest kolejna odpowiedź błędna. + +Ile wynosi $2 + 2$? +- 3 +-| 4 +- 5 +``` + +## Reguły składni + +### 1. Pytanie + +Pytaniem jest każda niepusta linia, która: + +- nie zaczyna się od znaku `-`, +- nie zaczyna się od `//`. + +Pytanie musi mieścić się w jednej linii. + +Poprawnie: + +```text +Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące indukcji matematycznej. +``` + +Niepoprawnie: + +```text +Zaznacz zdania prawdziwe +dotyczące indukcji matematycznej. +``` + +Drugi zapis zostanie zinterpretowany jako dwa osobne pytania. + +### 2. Odpowiedź błędna + +Odpowiedź błędna zaczyna się od pojedynczego myślnika `-`. + +Poprawne są oba style: + +```text +- Odpowiedź błędna +-Odpowiedź błędna +``` + +Parser usuwa znak `-`, a następnie przycina białe znaki z początku i końca odpowiedzi. + +### 3. Odpowiedź poprawna + +Odpowiedź poprawna zaczyna się od `-|`. + +Poprawne są oba style: + +```text +-| Odpowiedź poprawna +-|Odpowiedź poprawna +``` + +Parser usuwa prefiks `-|`, a następnie przycina białe znaki z początku i końca odpowiedzi. + +### 4. Pytania jednokrotnego i wielokrotnego wyboru + +Format dopuszcza dowolną liczbę poprawnych odpowiedzi, w tym zero poprawnych odpowiedzi albo wszystkie odpowiedzi poprawne. + +Pytanie jednokrotnego wyboru: + +```text +Ile wynosi $2 + 2$? +- 3 +-| 4 +- 5 +``` + +Pytanie wielokrotnego wyboru: + +```text +Wskaż liczby pierwsze +-| 2 +-| 3 +- 4 +-| 5 +``` + +Parser nie narzuca liczby poprawnych odpowiedzi. Zero poprawnych odpowiedzi może oznaczać zadanie, w którym żadna odpowiedź nie jest prawdziwa, a oznaczenie wszystkich odpowiedzi jako `-|` może oznaczać zadanie, w którym wszystkie odpowiedzi są prawdziwe. + +### 5. Komentarze + +Komentarzem jest linia zaczynająca się od `//`. + +Przykłady: + +```text +// Sterna 2024/2025 B +// Formanowicz 2021-2022 +``` + +Komentarze są ignorowane przez parser demonstracyjny. Można ich używać jako nagłówków sekcji, źródeł, dat albo notatek. + +### 6. Puste linie + +Puste linie są ignorowane. Można ich używać do oddzielania pytań, odpowiedzi lub sekcji. + +## LaTeX + +Dozwolony jest inline LaTeX między pojedynczymi znakami dolara: + +```text +Ile wynosi $\binom{n}{k}$? +``` + +Dozwolony przykład: + +```text +-| Liczba kombinacji wynosi $\binom{n}{k}$. +``` + +Nie jest częścią formalnej składni: + +```text +$$ +a^2 + b^2 = c^2 +$$ +``` + +oraz: + +```text +\[ a^2 + b^2 = c^2 \] +``` + +Parser demonstracyjny nie waliduje poprawności LaTeX-a. Traktuje zapis `$...$` jako zwykły fragment tekstu. + +## HTML i obrazki + +HTML jest dopuszczony jako część treści pytania lub odpowiedzi. + +Przykład: + +```text +Zaznacz funkcję odpowiadającą obrazkowi +-| $f(x) = x^2$ +- $f(x) = x$ +``` + +Jeżeli `pytania.txt` odwołuje się do obrazka przez `img/...`, plik musi istnieć w katalogu `img/` w tym repozytorium. + +## Jedna linia = jeden element + +To najważniejsza zasada formatu. + +Każde pytanie i każda odpowiedź muszą mieścić się w jednej fizycznej linii. + +Poprawnie: + +```text +Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące funkcji $f(x) = x^2$. +-| Funkcja jest parzysta. +- Funkcja jest nieparzysta. +``` + +Niepoprawnie: + +```text +Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące funkcji +$f(x) = x^2$. +-| Funkcja jest parzysta. +``` + +Parser potraktuje drugą linię jako nowe pytanie. + +## Walidacja lokalna + +```bash +php tools/validate_qaml.php pytania.txt +``` diff --git a/img/fakturka.png b/img/fakturka.png new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b2618e99f923ab28675b3931f77b006099d2805a GIT binary patch literal 60016 zcmcG0WmHt{`!0f_NJ&U{cXx^mUDDFs4Fb|i2uL$9G$<+3Lw9#cgLDfF-7vt}_`d&h zerK(7zMS~rk{LI%_w47ouek4L8~#pN2K^<`O9TW2bU9g&8Ug|m4g$iH+ZV{dJGJ8- z5a6#TZfY`b5lTl$c7PX8tt6Br5D+S2P~j%efY&I_vN~=E2pFA@f1dO@{V+#B*nK7k zlF;~Q2wU|0h&wgYc6{jQ{nq+>$S;LI-!GSZ;;1O7n!i#}Fp%alFiC;lfZhl(X#PA~ zqD=Tj`O5oKaO~UP2VM`eO0tkwu~}D$nWLve)b$PrihO(N^_L?AAkaH`#=HbI`NGzI z>$Gpc509_dC4*2N-(<|2WF9kq`}Y9Gb9tWRe-CcPMyLDt&@#|}9=c|ca!<#TdY zp}r;vp@YJ|XUsY&i&X5&ybC&}mf5bOoiQa0{M^uWI3KAdb6uhjV{pV_LM#qfT@^Z6J%1ahrL~I;SRiCl$ z*z3Ldd%D7h^Z<)t(8f>9W83;L3hvp>o8S_w0<~cjju5Pm!eO#cf+Xd+yz_go!kT;_ zI95(rJMrNnA*gXvq9#LTRA);LfjLh(R+71>Q`Cg%`f52sm$#=o>0cO^t4K@_**HYJ zB883Wv=%L(@~<4EguV@d#xeC*lhAb_I^p2j%oQj!6z6(Yvm(7xI?@z}!w<0>W#zV- zq!<#W?r5oMtOHBadqy9gj46|u4;wu_JX5X-`R7Y{=QLdjUGj1*rw-qGLBXOv9nlZuXGqKjU4FRi}rOI%cAcWPX&yB%6j%oY@Y zLaP-qPO8(g82E>r7>#%s6}KYm84c_4&UdGBO~**g&zQPzbEaKsxl~;^mQ62iz4|gm zh36`_^Y#u+_?~qL*7|ZNMVQl>WnycTYG!%!GOO|UAVVS7pN`W?ahC5u9fFN8g;d-V z8ucYLjY5MMT}^qgxEu1x^lm4N`euXS5pj2wh)76;+?Hq-gOKjUMN(m5VJ^!d+4Y_% zou-eRbm0D)uWF<84}tW|^K!b>h+zh$D&{h|w2L47pc?K~x%1nO>{+z~R36BKqv3o( zmAJdL24vmUwfkoMHdg)Ixwdqth&TsIAXALNl@5&Q21m8q0tCA+a)BObanQo3(F1CK zBairsty)(B773sHJ+AtnIn|M1o)r943hwtFF+V75ihGkLEuH(Q4u@MPI8khyHJWk7 zPL6-io62jbJmP3~3JyOVT{}3)yz=femOZPCiHS)U^ZQ-%Q%&wBfHXz6?}HzscrhBS z(S*ORr~|UPjAzczBqU^n@C{h;F-wzUy~?3}A+M6#91_L%Mx9nx0ad*UtC@8 zct;`R@At`=+t|6Yu|H|(%1@M7d&E?BU8IiSjj1El(l}rXS%lQ;g`s#X#yaacTJ+ox zQDZv0OR}wB(H6e9sxE585*^B%l`;YTtp)2ikCk?_j7H2CNha$33J*`ZP%ST++X`cQ zG;4dhM2|%1Ll_pd^vddLd!c&44~;@>@w+n|qkuc!_1+k(v23Y@Ca;MaxxA(HI25#K zwYp^t6yAqkd(G@`rVtVIse)gBLYU1^&kE0Glbo z6X9dqW?4j293Db9t(LM~$9{eRx$6Fz;&V395-Uae^Md(E-DE@yrR{XnPz#OxaZh~g zEvCPCWF1Um#}8_!Kn{}Vi6&*XtemR}3k!oSHS3X(6jut{^W}^&pcC`qii?ZS+wO|P zq6kykT5$J$wCUUfX?g=4tPMN35I=)Xjtm!G1XJhf@)vwV`jiqnKU2xQkZN&ab=L## zdTFdES#n7XZhw*N1hrY`%zoPTc`f5+jKZ&@lRv)1AwaAThkvai)IETf?6};br8@jP zlp3pTI}tnyMXEJPL~XV z=~b+kTSWJ!OB5y{H%{Jef#I!#Efj~f44;FZa4cHxH3Wf7wnlo+NxovY$@U+dxvh-XMQ!Vx?&c|Nw{9k_I(Gs>=7it3-5 z1(MO8&sM&FOBSL--fP=7EE-~wuqKGcsP<|mH~1+|yarf~qprStrgC%<(yx$I>3e-z zORFwC$M^kF;1YAGWuo6TeRRQN(+}%6?-(095i8A>is(tYzFLndRLw!ASIO+^>>1TdM?*#pVPOMh%YQdyksu=R}HGqvshd9v9#lAv? zX*YvbF@fDoY4xx_b#r(7)7ed1xxteWf=}-shT-)-NPCw$(l{_E-**S}+JX?$m+v@Y znrQ_%7B~NVR_LO$M*Z}|jN}ZxHd2}(ySL9VB&lqnc0A`8Y%8e z&tdb8aua}Q1LgM0o)~Abiwo|voNt6PdlA=WYZh%gvF?fAt!qCLvUeu%ZPi=-{SFoz zLt|nvLorCR?dPBfb#--JNw;^G%N3QC>+3P%TWj4BXFC(meS8LAj-cYR{VF$+WYYNY z<{o}cDD;8B#6%^_W#`YIzP8UuPu|zq>-c)R_Cyj&-rbxZpPyF`Bd!1tP)y^C!lspX z-WjKzht-ZRHT&R@Muc%VEj58GmYzAebA09`KCJ#3nf4@1aP-g!-WL7t39Nsv3Oz9$ z2QvJ&`G(eo3!!U8c-v>1&U@o$xE(4z^y(`u1xKBBzG?;!%1M^RkXp(nn8}^}7dC~68p*sii`9oq(IJ3$1%~j762Q+j1 zPce5yPo1;%|CUbf+3r+CC?>huPYuS4gGJ(2=iiX9qn&~*E{ESdz?Lby>)pr8M>Z$N^BDyQgs z)(q&J9{HwiLPE%V-=BIr^NE|ylZm#Q_(9qO&Z=m&Z_60rha;zC=*)CpTDp98I^)rt2j(WA&D&m zjfh7U1X82}52f-daGCc#9yboiiq~1+$0aIC)j7)BxoZ?ItoKiwx_ z+B7^vhUqT%$0hk8)iBC>ps_L+f_=c%l6W>^+vD7a@v~=Ma&n1^qG%ZLCEXx$b+@;p1RbI*)?|#_q4LBLbd>)YjI*7V5cG?|%GXxZX;0qOllA2t4=0 zDbcHqe(;o)mCZguK_}v2xNpe!y*`mc#&)T(pTj2qCLky%XKef}?7XAN=kj2@*~gPm z+`lRK%a?%}qX1UTBCW)?Aur`hbgRt=5*SZ5`f=vz)_AN_;C|@VsdF}g-^1Z>^V^I4@t>N^jB2@I3G7COUogqZ$n8Z(o4iifVj6){aoJ55 zUuC87+F9y}WFq5?9_t37V0qQ$CVuQPNFXN3?dk)EvoAOVXBx5~5x-8T!a$MXL0e1s zUROm>q02V!j|Y5z5Qs)Ynf*qe2v63|PsdQ-h=kU!0>WjR(JCUWOht7ftIP)1CwhHS zUTDS6=%x{mvFsT4X#)fFXf_6Z8a8_)_Kk`^q%+)kwS&H(5q24K$O6=3(fI`(YSM|^ zpC#T(fQD={^)vD6mcHen!EHPG!|tRU3AtsaqL zlSMX}Ata~qJ|3O8c7SZz?u21=zQ{-}L8Qr7!{e@6g3o@AnjRjsxtSUn_pONDd~`Yr zYBO&r=uP>q_!#mxO)D@OwKO3>T{j0nJEN#{lDu`x)orf&`5G&NY2A zMlysWW}o7?=>4v;$&&~|Rs%2ua)Pm`=PPE9VFD5^mmySb++5DCo*#MkXH1fa&z|Ap z;sP-&C@6>outzP*9mZ6ph7cAV8Uw%qj6cU9Auyu<&a7P;HfEjjY<+*9G;68F@Aj$z zuuAe8^wG$Fvw+&}gA{X889JI@h|9XXG$}yZKvict!Ul0 zhK{cXA*>Oj5oysD90cZTUE#+&rWsnVJ;#=RsODUq1-FBMN&)gBE7f#0Ez)xg-&Ia@ zaxsyXA%Gp$CTg9Q$+8aC*TFxO(`z}CKQ?A<SxDBLF^1A%W~N8^GEKt$aWn zkInd_2mpmA2^3V}`wFT8l`LcmptxBKn+RlNWcVC@cU746+85!xe*OBvNn3jc`(k~3MfST&4-_f%-V?W09C!YJR~>r_+uK>Wo z+Z+Ah@Lk#h>#=OuY()^KS&#Ed+h-8|#?sOfkKHsHmI=UY;k!>Bv39@Ae#^HV%wD2E zz|qC1Tg3n@ZjDmD9GH$E3NrY+F5(QZjaWE1NNt;gNyo>>UX~H4(b+jUVBc1${&-rP zJJ{~-*U-@C2y_#bPRsymeBcrHKefx0fooeoMMFj+75ad{60-%ES4ZEadBuNvNQItn z!m()qbcl_Oja50!LwaM#k>2IXVqF|Aj|M(Nt@FL+%9Bs@-if#sc=i$(A#Du#6X4nq zodHaMb`a_Tx@c`{1-M#apWEacP*|BDuQzaEPW$@C#`S{(j5fd^Bh&$8;Cm1JB;a>* z#;wt*bTY`^$^oF}s__zmlao_1g)79! z|C&~eRgjR&9APhkN)Jc_*}z&DH%DYm{*iiXSt;nRi~S~%NfUe1j8sDQYgm^`gsVqQ zQ?K0!m0-+^#-CTAQ&nI${BTT+Zcd3ar8Z((oPrljMlBT9Rp8#m0~RQv&(u^^AY}irz9J{_teLR-14TSWo1mzb{zY7)**m!J+Fia<&@H%mA=f>9(yrWXTN( z>o=3mFMz!*2i_3!fLT9YE}joQyWs*K>Lby=m4o$P(Ls$H!YqNi3{LX=>oCtALkI zVAhWQ_3K>={6yj9Yo@N8t zcjs%_0h+Lw$X6Q0bB40S#Z?Wk;#9=0Y5Hs5_c|CF8Upf~cy)rZ%v}N02go5@7B0*R+uvWGz-|dx zD=KS|*AQd$xqyYUXB~BW++?CW#stRmho0{45P)T{ zu*JqCU}@X{R-jW(CurTGWMBvr^Sj}2-<{kRtNsJXv_|p!IKU>yvl$2h1Yx4LK?vZq zZFDpS$Vh-@rh*)Z(U5`u$uN+@bQ(Qafv*w1OQ-Se%@YW_kuqQp*XB70&_4S30FEXV zWXH3nm?4z7?0*|2;&npvy9^A*c?`EltDPHw{T93P+9Qr1=xwO;UF`?~Xg^ZgEZ(nN zvrvupWNSF0-FOAKTG)IorlIMw6ID=Hm_zoz>l8&Q3;{B)I^d6@$;HXUyBU<o=hZW!x~;uDH zp7pi%b8lPy?~YDSJB>M3*4H}|7}b9OlIolC=rF@^=n;*boK({I9Ig%;5Bq?B41^fQ z(b=K+aQ8eg7rhS1gZb)1-= zH?W-T04{N!VXLaDvKTbrexj88^6J&AHUKa8iErLEUw<(FJ0{sBtupV&2Be__ke|oK z8H-Ll;OCz>Zw(OwH#>UHzNfwYbBy?XGH`$6h1_lDEw9!h*sm_;odDfL)h^Zdviv={ zmrsr3#P{!vWl0s_zRd{s7GuCBCl6cB+mn!x03}Kc*om6q4tqXs#{~iDXcCk*sKwwK zxy_B!*XU@=#Rhj{Qg@&|^2Gt`{6Y4=1a<*PU31lT_%mfjy~Z4|To&?QFi7QPWnTbg znB#f4#A81jTdY%ga&>I>D7q@*caLTVKqbIZ!N5-*coou%eR2Z-9Ye@#h1Qop(B9Ml4Efx$o{$NAyjPv5|R@qIZ3K+X9;EHUqk zZLdjHJN}R1k{{1Ml%lqqX#J0t0rW!qFS!B@z3_jpK)z5r`=8SQZTJ7fLk~e5Sm#H` zo}CWrf4hYVYGo64m~@KTTjSNzO5Ut3pXc~avtCt)v~;_zE}GKS8V+I@KF87C^2n1O zZh`wBF7H%rUcO8GsfpvrYt6rptJ=TOjhK8`vE3VEqgz1`;y0k$y7!dtd6$^Of^Uqd zy3csIzUtS6Vu`fXRyQ^i=gUCf(`He{{kd3Isfc$_Y2q&r{?T0(-&2SqeAFv-d2KIr zL7(;+BQT8TCsk|=OK_!L;uj3~_+6RYqAM(eUq?OM9DgX)gP3*?ysJI^IBgVl^Zc|^ z02sCCPXCbJH_^k+Wqu^MW@1Ah4oZ_5ffi59mM2(Y4qM{w-)Tr?qKzl%&-<=^$82R$ z1se#DEH%^DCm#Ji<%Pn@E?g+NkObW}sQ_F8oC7W<8;MoS{QQ2zcRBvc9mJVgMP1Ch zRRC)*bgX!c<3b7%JJ{p=+I+aPAcNn)s+;|Ew!#iycx!kKGeAACiFwFDFYe~ff74n6&({}<<-VbP zGgT&i`PwrJqR^2ud{;Q*D`1CMsaj}j7)1@Y}D#0^9|Q}TxKd0eDk{m_B^ZYk#V~}JlA^zI12T%gD1CrD!I$W zo!GQgR3@$_cevM3E32IayD-IhSIuHtDH@HD2SJ^dKVwo2eth!&Oa6FvHH#xS zlB?;C_KC|j+sRxouPdcKh(?R;K}=0-hhG6hkNL~~t=x^jkd~HFMB;4S`n=DZEsQ-z z1MjH#yaIBC@;8v)EJGz$z7z#98aH8-R(&^_vD| zVUp#bS%qbJDf;KYfF%Xj)j9s_V7XF`sq+jG*8CGPMrImDzINTi3On$?XG=Uv%#48H94z@qtd3+?#agmQWsYx(}? zzmZ4p&0e(G-RcywVW$mOY zkJ9)YHFX;`v9!8bp8=oKQn_N#*F(=K+7d}3M*Y^3CL`*yI$?9Lhk{f1IniXt?@YZK z5w&tz%|gQ=^>m=2bh}=HO{WUon^-VCTu{V&ZEueWH+eQ=Mxq{hTwulnp%6 z6-F~NQ@4J8hRr^TsFvRi5+nm3A;jZd`Y>>BC5T|4g3HS}P*5?Ge#~y1f=oBgY7=P_ z6|i>dhqT$Ubm)x|RA@`Zj0TqIsp8TaB9bKOb~v0Ghu}>aJf+JTLQz)+BVTkb(tQ1M z?RO7oF;al>{66>QsYg_v|AaEv+GV9_2^&>~tB0?S%LfLQpiA;NtZtI7?`H&pICh1t zEee(uZl#P9j&yL=RGME-F|dX8B#Pl4u;#c}hU&ty9>p=G{*lu-Pl)PxwGpk#{fsZC zT(KM|vpDHrE4@p4{=mV>kjhiC?Pk915p7Q>FIQS=7C~M?n0DenjJq)35FMm?WIZV4 z5#lvo?#`+hpuCc{Xt}GhG&22~d9K0_Q8UZl1b&$oE<5|-PnPfPu;b8qe!0(#?KEtu z3zPgcRmUL><@bP-{ov-@-KykfV!TTGL1nsW|1NTImKE1P9d4KGi7LzcxD0!7XvlZk z)thM6E2(*iygXXUZ}!cjgFAaNE#%I9AKW_+@kWnBD`^GHOcL>~@VY`J)BLlr4A}4T z5Xm%TbrxTKbt_l}NiXURQCh?62)6XiU*va;j# zg+3o~nbIGRW1|g5evWhAx@FdN@UU9;ch|=5^4WuPy_w7i{FyT%%x$Y}@Wq&_s`1d9 z^-DYO?lj&sDTe8718K0Ojbhra^3y8=ny%!mubNzDPhn84d{Z*&%h9Y&<-j)-7pdg< zZzDI#G!loT+gcD7{TDm(ozh}Y9^W>t<9k4QX+EO3#ga$R#2h&LX;5FzG_TZP1ddz& zA)W-HeBwGt3_BW#L-K+3#j>GGo9T*h3nGo=o;vp$b73u8+`iQ)O(&yX(fIb#g1a+= zIjN*K&ev%FG%>fzCvdR^*XP8KC&~iIo4(hs5cV{wQS9jc?UXX^GD-C>B!iL`n<${fk}5& z-%8?h;-22VTW$9k8i0Jf)(FX5SqZGnd4)xGe0E8x^6}&;Nrr**mC@?3to6-ue?hjf{0icU~haVgEU5kt8K_XOtzMn&fal1NYEMW@^awZ>jm;W3@ zr%AlQ>oG6={`NPeHNrxVrtG zW`gk>f)djXz}X(;(oII0*%qls*KK&_sPnx8=QA#S;3Sxb^tjbY7dAuy%qhtfxn)h2 z<0a98NzpT>ocuy<9G<l^kd8C(sHD?TSu zoxbKm?NzoMlr!S<<&NHba-dAmRQ#lHFd3X1&;Il0Y-#EM&)n^auNKWE-}tnVK)$@_9+N@k3u3d3M=`qAz* z-#OTeMbRX3zRb0gIfJ3h`p*dcZ(87l&Mae)8d})gL#LJR!?xH(F~Q)sIe!7XGD#)& zb<~p##<3b!TG-`jr`7W5c8h2+fpFNIe>85HI!<;B)OX73h;V2GC_SKCtdN8>%ir|$ zi$al(zW{_}|M?i>sM$Td_=$tei1EGC1i|=EN~6*MS%@^Ny-J(;3)!4(J zl>Kr`a{HbCR+GBm?;5tSyN6V#M)60>TIdG;rg2@zkh*d6*zw)1KjlZy}4DpzYEcy{|*(L*LY znanY1Ra2yU%=pzdi@W*8_IdXdGe#rGhLQKxVX(vlEHE`U1 zL%RMNmQ#ow(LjOPm;^z?nD!X_*C-u&ZkL$480&Dts}U~EBh2^ zWGQlowpM9rpTdvY=AXtvh6opA^~XV1ck?0~c|FYFTjnJRJ}fNk&l!!v$`5U`%4a!^ zPl?ClITQCck^{2K9&owiBs}Ygw`9G`&gy7gZgR*MSN#>4xbi%!1-IG34B%I{h2emNcET|9dzzgCku| z{hQw&r2dbRVt;^eGDnEZ_D}K44hJJ9=9<2Tp3i@pcj~VjR8mqLngl-JWWE}V6Y=A24-e8TtKFFfj zH^AwhUUmP$?aQoMqvIsx#?iZlo@+6MjmxMT{iQj-;=w;~RBiJ0bfmpZl$sQyYTh#> z{B#-~le_J(mYPf#Qd{+b-q3M(p_B7`1k-i5oI0o_&Ax3ywskmD6+zu6Fba`Usble> z#_#EJ-+NX)UZUuw>x&G}zlB88bYa{<;uos!6N433D~3)y{awx9YUFMl*xBG+zIzdY z^ffd>Sgm}V>2K6o}vx+*j8Yl(TKdK{|kKzdbO z&#n|YK%nf>!DyYFJflmtafi02ItRowbXeg+TnY`E=h(uxB5JiW96G*y(jZU=yHi4; z(M1BAC~_aLDXnjDw%}HQ1`f5qT2EEyO#T z#Ha1GK>Ts|bOSIFD~no_MjPE@qeWX1Y~~SZm`bhx=;++tZI72o%Iq9(^337AO8jx} z0M2_q`8_Ld`J0zZwPDLcnNl5#@2IB!vL3_g3H+2jKMi`Y=g)P`ZZs!Q(fVO$QvJ)Y zAPuIX$|;?FlLI5Os_UO^e=h4KxjnJ$jhkp4t_CB|opFaxiti7YB~W&i^c!XHV*b!& z(7|G3PZcb>tZ>ZD7Er+St{8-$my%qSDvT0nb8#3a1+Z48CXO|vvOkjAoc>`{jJ8_6kSWLPdg=fv{&S>??ScuY zny`O;dSEeO$E;8>+tjVYYTUlE=_q%zg_N#}a7eQiGL>g^uH&X7+@&|No%0!^!G61O zjNNWRoe)j2^;Y}p=8(SsQw}#P6Pcf$>7ylzQVg*jNr!1uRg_bl}loCg)xcABx<8*jl_ryZNkA0AjAw~h^A3N-l&;dq}LuMx@;`laiL z68&;$cd%Phgpi{^m(F80JHDh0ExA79z^Q`@YZ677sU*+~PAnRm)Drn}?4?#OsYD*m zWrWk4I=fW&vVp1Z6?(b6&Pf&Yu;x?Frxc@QEV~3%tw6k(-l;e32PwuJqaL)7)#``c^+a%UWG!NXAA*^_hF` ztHN|9lvWM25pEBINR9KP)AE;ihD-8)0K*E?2AV=u=JBw+px=u=)+fYOSQXa>ch<-s zE-0(nccFx1ffq8hxFs4#^qChH6P={kN%1!a2- zT6tx3S*?gwm>Ym63Y_GB?AYAZ8HA2HF|paq-<90A8lnJ56MW!o;mWSdG2ekIzm)0}=kbn8$@{xY7q3eJY9Ep7P^$(4Q5|L^Hp`Ui%Df6RcQoUdTlBu3;1e#Z zPUi8>$*W#sQ;Z)Lwd~XxFf0Yg<+{wT1Slra}UU_IwJP8 zZ%rwvf63)MPb0)~-0BRJ!m}pH7}ukEa`B#BBHZrphScW7dn0MOwxP~%GO}M2>gEM0 zB>Y*(ml9k<+*Wt)2Q8FjSPW#fWq-o5ei!C=ZE2fL5udT zj7t0$1NzYeUL}v@MrGsi$7r(7c4@tdq1pB`9a7~n)k2Ct-p;Wokxlyo|jgnj0cE*rKRmS1yd8KfQ z)+v)Dk%#G+1GhB3b~;Vq(NO^{?FovCbH~)Vmjmr9uP=oAOJ*JGG06{lm?v{jr1AAL zg2TF^PBu^k>Ko{c@MV}V=Gx-?imqHh0XI?iQJQ8&uAV#ke9c2Yo&TyK|AKdTkt*_|;ds*YW}dYC1LS!kJY@a_15(+UBfDvbr6FMKH`laJ zVZ~OQ=X4*epo?Bt-)Qo}5A<$3511JmSoEU!~I~Hxmpu4 z>Sd>)^7Uue_Rh@XQerd=RJ>yDMCv7B^f7#;Yj3O3b~A_Qp>TmJ8^Lqhq=VzRMApg-N>?*oPuGZC*VVt^e>;z@pV zP@g$B|KZVMA(!Y*g&wZkZ@jMDGDjQ?fs!=plx!9Zh2JINs7KL@!cZtv=&}S4HAnTrry0ZXLmZQfQ%O|nhfav)6K*aaBvtR?Wxhn(}zuuc25!PgL zXF~fnDaHamjqnx;^K`v@PM>Ar%Y_9AxGW-kqV+?;@$=62K7x^b!i`ssCqkJCKP9>~ zYBK&l+vANoH{x?skaD1$q#ON$f*^8j<$y87_A=Jy7O_MHt%21}jFGL7R6R`QOXS+( zw?qx4ZMI>2ooU77gJMWbL;=?GM#b@+QF^b-HeiqJ2flt33`_9 zh}RFV{qmqml>!1nUxR!cZFnq0pXz$t#M{w<$jIS_sar1iR+m-r1KmncEpjU2!(`A# z1qr;RaKptD@3N|}tDCh*gB&_`(v{VFYp&1A?!raT)nAm4Mm+mY&8w=C?*V%EV3mSc zI}nzt(=})ODrig!I(0Aaft(UA{xDh`@sTRPH&%K zG-Uc?mSqKqzV~9Q!{0Is2$cZEH=Dqn!kYr3^u`MN4-$pKt&Y;d(NLaUY8=~PE3STC z@HVD%fGFmcSF&b(VoYzFr<^Sq1^qV1=b@qh`t8$vaJ>ahM5x``YWfcfM90uo2q!98 z_||4x7#fPg}s;r&vbzt;P}S!52aB*dTTIDX~)D{=A6CMHh1kxY|h79+sN) z#0Ii+N8pAsr(oaYR4)%i>PE?Fs(%6oart%jEJ>$uL3eElV^hTjJFowK&uxc4?mpYvz z&J6W-AW|1NUvAich^Kndgcqp5r?OxqbNY82{2=ikxp65+^Y5GT|Jz61{*HTr{P7=8 z#l`>cW1{7Jyc}2P(xz^kB$WgAeGP@yd6{Gyxo>#&@Xctr>E4mhBwuQ_Jt&Kt_6_br{u*o9mK0 zLZsK;>Td!^<#4s9BXbR+)NolE2iO z5%d)#06Q!NME{!v4_Srr=}PZUD9>*kd+H61q%mw1dXOY-ep|3TvHbL|2E+c%{M;qO zgd0cJBu^#O2dROrMG2Z!^&=?KaXNLUR({-W<3$5reGleg?V6pDg6yjXcMA01BU^?k znP~U9bX$pwHox3CYlqoOiTzy2)06{M)-8GLEa!+IBiT;vkMq6BMhQdiiNzhYLBWzL zz3UB|-_7E{cuA&zY@Hni2P?dRP1rID;=kA^Tl)mZyxu7`8AP+&$Fid}r2vDS$}Spq znjg;*04}e!Nj2YpPQBrbfMVTWn8MR6>wukdqH`U3R3tW@cS?UUoO;JqpC7RS1KKM} z{1%Hdcjg^E^QOQCR0hE_H*rFqLv!E7q{ZHOMt!`NZKl#g)&ys-`)m9?uT*$anSJ`K zQNxE_#?CF0_~-crUZdins;+*$EQE_?jURUS-q5jJCVqQ*PFK1}9U=1ptc>F!+jpJE zwN{A&J+8^4jr+ezaMyR;hRKu;168r)cPv@#;lG*hnhkOXXaYD>90!YU7-^Lz>Ro$( zH}~2JMHc(s`V{=knnUefb?sKK)1&mVavZ5cFVAAR-u^)+LP3-||JE!$r9B=uNcNdmpl zsXXsiRuSl;+=glof3fmt$i0At^V-6ON{Yvb&~+F5Q|F)+6fPTk9_`M8&o^X#0bzz@ z8G4W(BA%X(wr+|jS-mYIQxrjB%!%PHl0j-l5 z1;k0a<}8BcN?{z8u9Y?07y~*Pcv7^*$*wS@hN^~puPB8iW+==pdqha>=ia67OdgH$ zo5|*&q3d;m(mZChp(m!wBx~j$RDVwO8I!uY706d}30#qGT7$B`U{{1u1L4o7R#YSJ;v-LaS1>S<}ar}tcdNWe-D58O@l)FM~_t*@X z?D9*S-f#I!0_H!Z4^@M#A@pBLz%5(G{Z6xWFkxwbUU0Q|EuCq*N->IjQ)n3L#C1Qv zc#w9-+0sC}#>YZWKbe*@u_crqAj_h*xBPb28cylUy|%mhDNWN@O9r*+g2ZVg zwiu6%kQU$C;7az6<_07(U>t~G8+GI@J*_Fp7*z3NT7~??C?U>YTS;|a;Fat;n6mfR z|E$I8YMk_AQGjyD0T$_&{}Sz(xwEfKoGOVlnd}*ksccke??g;>rHt-^89CM&!(6zs zN(kv@qcZg|D}RE-`C{8y*vc!ULQ#>-`w9V{*lAISj0E3mo`V5G%mS_l25na*39mw< zt9ggd z{BXbDmn<4;5!{xX`hhGOB<^+W`tdnRhtsulDuh{)O~pxU9#2ZqH^;+#C=PXRlW*mJ zopk&})W4D?;%UvzY4K@$4tMcPrcXSS;o-)sK<{AGdm0?ngi!BQB2wj#YVFW}`W!tMuKVY&xMQ5s zw>J87VDlU?afketv&VtHe08sPsK~K#MFZKBN%gAWJ1<$jRNrN)X2fZZBd0&y{>~UU*cvbzs6HL{ z>{ikI61ojf&C+pSBMD84w78J4%RJt^Jig#?Gc)1;Ik`Km-zpPq2oE~%9ok@wCBF^Z z7=3V~^~4y)5<&Y)QLREsq|F?-ofB0o^hzFDB9xeS?qdkM-%`+$nf~rTjX96~1~;_8 zxqiXScdupNG_i`0(G> zEeN6A827oS3Zq72sNy`nwV&xP2c1(n7rFi9w<28TxQECkxwb-{HZ2SbY7Zl}*L5F> zT*?P&GVXn;u-&8}e)7Ivna1Hm9*45--%nNDLpwvHG&*O5Xlx_a-j|7 z?n{7Q#~deObsOYvXj^riaAeb;^gg%gYVJ0TGavmf=U8?P`dZ+TfJ;V5ljDhGqsg05 z$8VGXN>k~+ijG~w@QANpCqk+2kHB$rNc1(N4$Up+eu11*XIV()2hk6ESnSd_pd(Kj zX23x1GEUNcS$nIa91;=MHBj$j(N!`4I*#$N*3i$$k<1GVI_D;8oeS5VL5CDbck3rw zkS8TZVj#C0(-)%Fg0onoTFOgzfO(D@b7LJLx+#Z1xYe~GbYpxTF87G=1n&U~s{SR8 z`&!UaYfs6aN%Kqjj4tl0VbGW0Kp&>`5;Mm9qc@JC9AG{LIyIVRd3*%74atLr=P|`( zd@9I@igCfgpM99NX+o_56?Ve>AE5x7)lvB#PETF$M&OlYSDP)Du^2JQKK5e=_K^v4 zpJK{9%30|cc>Y2z>}5;$B8L^1w^vsHUFKK1jSB}dVV||c>Hgnk416BLgP(X5j_*nl zqiZw`-+t(Ga1{6GnP6sB9))oWT2hfMt(n*piE!s%`E395{4)AQ&r_V;R+a={e8l0u z%BSpwVR3mOfqPw0R;Pr2m2azl5GmY`shMH#_LmPQnSU9-y?fwZ-d@SRhM|v2HuFU> zrr$U%UIfTtJvBsar%j_jD9iEs8?GKG{^NhSI2`-ie*1sC`|v*!$N$4UjsO2Xb&@;# zkzAS7 zljL=7Mg5fdL?T|FimRT9Nh@0Qkq;sD26pc%XH4xY5yJjg+Z*poB(>#f+iyJes%<=ucG?Tk%tk6{T@$Rt8cR5JjL6Z1;ei-&}}j25m6o-sQEVd?(b_+#>5?g zWqhD~c*|k3Hn32mQM?>8CzI2so6C{XiOF#a7ScGVO8At^*7jhMzsG!Kv4jEah;MJw z30QIZI*8R#N@{gTW`syZOeo>*1J zKhNmS_JfhjOn$lAu94YY?c?hb`}SMogH9k=_w-{`M@HowjoRGqVH?|s%@Yp%KGqMokv zxAEt3=*~Bll8nXaqrPD?<_L3qxFEWHTn!3-Q|#@n&tM!%tD
I>-lQ)6=8296~K zw8wss+B6wlu+QZ!jFd@4X}WCi(EIFc?IkkfwDKZNrwHTR9PW><`6QYZ`b-xuLjZMr zNGCCZsu7RVL1s!V?&kvsTKw(T=G$~QX!)>`eNsSw4S4SQ zs_Br)Ngsar8{xI-`TTj}b@E6VNy{bgTi(wek9BJ-M*W_z==2AfjDaEB<_lOFvM(di zyqRo|`-`Kw9ichXI@_r3;d)_tBwgIiPH$9==N&7nu@`>RxGmQVRMT3i{*!TlRw6BS zrrOQ0uIrt^q)g(PE2hwvO@6WSF;`h|8xCe;QKe~Z@GSw`{HIAXe-}CkrOdP8;U$NO| zDXc8j#UHAMO#)YW8gc~3LvanJYP(1p`XtCoqMm_U@ArJia5;X#gp5jQUOsv02k@Zw zy~ZpzpMQ?9elyv)0w{xvw0kL@=Z@7YpvbvG^Qygy;u9h$(>Hm&oC&S}j22RShkAbPi zM*C;6h?~%GQk3KGQMQyRnu=W;-MhaQq|hZHkVtryr8*DzzOZSKS8aNb2B+IxJ$x52 zXR{a=1$4EBhkw`rVcLirrX@YYWJCBk?_G3Db0{lA)MP*SQI;C#I5sz?fKyt|6SE(t zGt?RG{8lG}3D0PCNd$0~!6u^}mmm_wcx3S^`;NbNnEA@t)RJ6Vq4feKTDKojsC*(i82kve#`8!)q<9m@Dw2wyR-k0ZV6ZH94&7m$F z4_OU{2yzJXZ^Q!C0#-u=-9cdq8%Lq#;54IdSH2_4-p}>H{uunlCOcxOI0tia%2H?_ zS}@9ZB9SHx;+K^-o$>X(fPFDZ>$1@JLAvC@^gy4 zj)sre^2@*Ses&<44v$+-X_SlM&R5LXeMT6F%F^`Of@iXy%+8n%OC?q?3J?cHkr&1> zS^OdWv?T?Oq&2x7qNPFIvbF_(l`BtkxzDg9OXT+t<8{AL{x&c`Me-?IzatzhyHIV| z^$v?^J&oj;;}~0O3Y$T55aic5IO+c}2PCjJF@g8neFtgpjVp%qCmv|`G0fCzhD>={ z77$?YyngD?!LpfjS%FwfF7@i$w1DMH3Kcu9h%?H~+h9d)0Yz%lE}85G9PO@2T6CUD z`>-Bu;uXlRo;gRlYV)@D2f=%#1UZDakkNP8Qou~{ghTdjY>m7|?DTF~bHGnlij)R3L=c&%_B(BetZa$ScA^2Jv{_55i3=NvDesRVukewY#uu zeYB^=6Y2o)Ebb>vxQ7kr`mY(EZ;-7cLl~Xduqum+8qs#$iew$Hq_V8@ zlw0zh1HW0>UK>RLT%Xi=dp>7~F)+hhBpOD%Yv{P*kyyu}^N|UyUQTGtj(L0xi{iC0 zM)NHMqzuF`=HQXuJ+F$CPS(|)(xLO@(*oY<)=JO%)At#?-GZH=b}=L}<0tpv`2mda zm*u!la`Z#J)2*aJkGo>SF)fUYr+D?B1x@(IN-aod3rs;AA?y3MQ0RbmwoUu22c>XL zi6;U<7Nw5vg4DBy<~MXzPm)IBOqrYq&Ko`OSSJW%E?yi7roA?>?l3J7s4v_XA1m~S-cV*~KV&4nr+_$FnM&e(I&Q^@Yd?s}tHF!0d9C{j9hjp7 zTWjv)=LdeRA*08OhSEvmJ3;Mfq&9Oq9e?lEIMcz;c1chYI5w*5_zg)xxKw@fZJ_-0 zqE*-LKs?pfsv_#2U^rQ2;z|~)c81sf?_ei@do(&FqZqM9=*6)z}vBAcT*GVgQ)Pv@uTqt*uQOJ?)@ z_tk&O&RT!KZD)@>2qLG+spEBV=<5&Y5aEE6N~W^7YHnbBiAsC`MhOjuPw`p_-KE;a zf(_qWQvhjt`0mu#pTQVU$u-;ktl+Am{+O5aBV4qOPFl-t7NDkkP-h^1uom$b8{~Ac zG%gp`Urz~`<>r%&vj}|tJRvSJ&nWB98}H!UM@^;(42;otd!4PvP4`Y0CPLr>-st#1 zbF|2MzJu#!xHYjtl>F5+Loa>KkFBY{9>(PBoDj8|UDFw79lk$7ME{)XKvM>nHBN?ne;djV_GZ zI+`n>{Yc-6rjIIqVthMABEU}lUcUfpfz<}XuhqR^`8#bzhb6!ed8un=GHS8e3N6o# zsPh|QLm_q7Ngi+dBko;yItU-{O?#mw0>KX zLXuG7RUphoo1YG4#$ACwZE*$ITW5_@_G_I2ER&Rg2lj!jA|Of*r8Z!k#oPU`e?N(P z^DXVB!)coHOWafB`gW*0@u~4q;AO>!>StSE zUBY=N^Nu{jN2iPrs<4yoCKiv;`n?fS6Tv7E9p|G7y26*%+@^oLiDmr&7F2wZPCaU( zb6kni)bq)feV#8lN}lz^?@oQL!7Eav5~4PDmRm0IBvS{cEUU1o!a1JruN~HhW3GJfBR$_aONgwV zzyV-I_Ea8Fc$Gva1ms!DCSaE>bwa$J9V@5zL!FxVRwJO;?sQ^tTRW96MX*_*hBl_3 zn0$EStA~}t)KW2}Lo?{!lTwH(nh1kACF5l}wB~+6umIx3dFs28N14yk=B6Ir`7igP zF`ZbDkbV=+X3e>5$@Te&5_hd~ej9hm{waQL-rp62U`Lt1F6oz&^UUsGQYb4mpSOs? zspdther8mBsTH2C-2JY7)3%cJM9MfoTxUn&73ZfV=)gaZhLR6j@Zh{^Fn}W3ZUsq! zCx84*E#-#}DQ6hmeDTx9gPIGw`U zA%IrXxhXq5qMU$E3Rq5wOGrQ|fk0iOq^d7@f}ptI-9}w5j8?@bJe1*eE;H96Jmi)X zo?bZ;?X9)j-fUs&y*fJOKZ_1NJrS5c;N@$qok4~t=(gg&)9XIG(1A3QnEMRP_vE|(WIjVH$T8>8F~p7r^1V_DN9n%n{n z;5bSpGst%C4!djl6T}BJmpGcdr65~+!b0*=&Q-vK#PK_bopMRT0WO( zvPNRkOAa-3IBzOK%o~_b)teyWA?bCll{a4Ku%=t@2_Jm^$se%d^Xk;>UDWf>`sCVW z$pVVf$?css<{>$%ltalL{0?eQkP{|Z=X9ZH+04m`Z;pq%RteL73efg&>ULo9Pmb4(WnS8JJkv4jUJO-E_bSilwbEEoia|3wUb%`2jisimlxM7ChDXs=hSeWH%(Jt(V1Zz&C>4BzcAW#A2Rc?U-@!u zL}z8uQwqK0fOQ=-8-9j0dz!$XsxHno7y(CyPT`u+U^nDTwiFKe-H`K4*SeRWCIrMN z;fGH7n+2BLlOIvorBJc3hNj^LGCuP2pM)Duca|XW>&5G=EUizBH=mS%&<$cf(v)8uqq**X&uzb;F>cY928TXi8k|a2;)wV zBss6;%cIxrlj5K72?%zCc)F5PKj1XoV%3OTrdPY=5RbG4xqZ6?K2U=Cl^u%bCi?VvQwdTkF2hK zO*(z-p-kQy)b>!`0k=822Mi0}h9$AQp&=Uihdq%w-^pObBxEfp2KG-2TnTub=Mj_d)5?kS?nWdoe3D#WD#1tLamisO)K0))A zH-0zY94&e;Jl-GB6&JBttwtzCcjd?254Qb)tp5CuftJr{ ziWWgOgh$xF;7nkT=0^H%;p-wQw9{5@4*_~TL9^>GUtNBN?$kgPps)iJxc!^AWGkH& z4wnjvw7#7g;^HVAJ&iZG{Mp{BRl@0xl|4TW8Jm_GX%?OL$$Ubb#P4zkn(*v#1VPG` z1vfI(UH7H_r!C!Nr2o0C=)faf3+P@f^Y|NA0X!; zvGtJH6FF<#BIFcOs?6;m(8$}Y&00x*i?vCz*4=jvm^9+^3GBV1uy44;ZIia+Uoeg(p;(DklhFvpKH+a}+j%OU z2?(P-A!__~I<&F-si3MD%p_{RO~+VtPTCB3_~wbZXCq&!6~dlpVEUz)q*B7rg)*c2%=yJ015j%^(9_@q_Un%*UwreqClgHwHZ3$LVG0Uo$!8ZX*b4BB__j751!8}X8{|X}iUn57amoD*Zp?>b4 zieLpNfc8&5PW-lsfpv!+Z4MERr+)6@FL&z~0ecD)RFz}ria)8g7w~h`_o` zVfTF(vufODMaKJYsp?UxMV1noH+d6)>R`gZ`5={}RnTJ){1p@v0epeuIcqfj6Q)?J z#z0dU;ti}lH4-}t6M^ACo6P8CjDjxnErtu#gvr1wq5#Ws1A8cH9!IB{okeDxV0Yc6 zI0rTLucB2lpCx(y?rwO-jYfB0o)f!V_Y zP9M$@>UOF787|-2EulTr+7cBGtxo1XW^NTvopFjr(ch>V zQFg=6Vs1$I&f|11_4J42FJ`&awfxKZq(e0T2@Jiv;c(GilaK`@7+4(CEqVu5V5+sH z96foV&%T56e;@2b`8y}JP!gm+sk>AD`zy2X=x9D6bp&a%x2X8AEYh19UEU0Rq(>K? z?@A$6LfD0?$ko4+Y(I%6IAydn>$qfMq-eQbq7KP;usqfI68T0FK+BaukKD~$I5Gt2fwvdX=R+M!m24i z78Ohe*ZZoE%qH3)@BH4x-=T>Q>s_t>X(2TZ>vy0{S-2Yq?ZDr?FgtH{dnpoY4&5{FT~xcX5A$o)p4R@#R~>p8)x!(KWr1U`I0GiSS|_E5 z&u_6(r+?<82P=S)DJ-?Q@@qxG2bFE6RwD(PIAzW>ZpS$#Ex2$;UId={@*9(C7?Vf% zCVtnwXQFy_jJX4zNRL}EJr?rtm%|l8EwPrV#`eB=+PA+?ZBU4_S?a##)l0ezDid1f z{tLtuuc5vvvY`5e@(OBC6`0X4-Q|SlO?b}9TZtbv`3Av_wa#pU96Fr1xKdrN0=A8F z#@o`yjIZC0-+{$#NjH{c{L6hJm9%4b7uchybOC(kye2Mo1yM@o&htbgr+ce_ zEG|yKcGa1JZq5~_jq^=$0OqosKUl=}x?opaDwGLNrVk_HD%W5lg-h=2^56^?i(7D@ zRH0+*g56K`@4_CfUYtXtBNsnxRjFq4`r)njENk5=@JCX#h;VOwX~k#EW!RiwZGCW) z!C`Ef=~|^qg@8gQ3ypTI%~JH?J#O(A9Rs9tBAX+GrT{X&rf%$k&j=ODzDkcl^v}3C(YxZK|C_P$ZKQsRmF_l_e6L@c;B>7%( zmAe|7@Hb_tsyKSbet?ze-|)erh=r0dwF+O3Vpwe#SinlSCRr89Dh|K6Els!Fss{vB z8v+>PAsl75CEPzy{9~g6I{AtIQHcYmin0G&0{I^W9{i@mv`9l@X9B|m`RwY zJ%-cv2(;_d!1jwrEq0mmJ!4$XHqAIYF*HtVNoLaiCad6mxxMz3ZifiD*E#DtoD)LT zq1%sq;0_mpZrE{&5LWjc9joR75s+&12uOXdc zT7A#0JmKICV!^OGERx{-i1`fL5kO;GMTyYV{zNZx1Bf?3bE!( zXQ8>0;Wq}|%9AA;sk2O5_FU#+jehluD2PlwEV?ko^nrrj3 zeA01IR$~+o4@Sx+b)sMfSc0R-Cl(EKNZh(D9Ps1|)!QOfPVq=HbVq%AbUsz8Ykvta zP;f5wGT1`?)SjtaC<*^P%iiIH3%oa%<9>qAn@cb^Gx*`vz9E}&!~&h~b8$R341L39 z`6BzFYH#f4y4~?(a5dz?ay|Mgtb)-?-+P-r5_fsRv8kY^4E74JJfGkAj>4$HxE!^FNk>&)G>ys~A z)-(DE>r~#DFmj1STIDriUAPI@QvC}ZcB)WqvEi2>75EH{U*ooiqsQg0nZ;hOkH!W0 zOcmQ0^fT~De)j!Bp~0Gfw4s3us9dV-k*%4vF+vKlCzi5Gu^0W26HB(1fMXTy|+D|}`$eXzSHWjuQeC`Z{6 z3kDZ{=%3_t@Qs?l_D{+(;-vxW1wQXriB48DQPCut5*z#`R^2eEMPBIy9x6yXzW-}H z9ir#`BaE+U6ak}88CXOS)Ur6|&{cHK|DjFmyEhlvzKGO|DeUIhm)L z{xt;cTL^|Mt@rFYV4?p58c4{VUim7!oawiCrkTk%TjyfutePo*0V5ASav|#*3)Z9%-W}o z)3}&-=`g5UTOp@sd3`^Z6Z7ZDsmsumc*3 z1Bb1p&yOsi(94ehvZAzDG@sfJvvU@l%EUfkhK$=r zI7lHe7%`MxSbj=kAXC|cl`U(khP4lBPxXd?R+@%0ymgJ8DEpj5!TXdI9E2xqx zGbpSz3@*p-04LE|)@Uv=a|#9wVc*c@asLDM7cQNAa&*l2Ahe1rd_%c6#g_rRkKavi zZ{JNKbmFCI=K9%SYJDHIB4aQ4JBf3utGrD9TB-8)RV?Qw2Xz*$lAKP2R1U5&FHEYx zPe3g>aJ|H4y2!mG6f}~PZZU4>yssqx$_CK>a@ckz!}d~3)eFB)`-0#plT+m}k~7HC z477`$xpYQLYY~?F4#tTS$jL`!yO?ZtztYOy-ZIlrqAQZ3)%eE>R7_{*4j#p^$<@oe z&P^nTOBYp~Co0hS+T~!~?Sw}&=zMOe@FOYt(LU8-ICO8NShHU;>=Oc#0s5wnmCn<_ zV<)7uyX%)5swwt35ayw>EyV@zNBLj&xs@T44`z5yv z%N*zWX}5gKC^L?D})&A}LYanFua$v?2; zdhv=q2tM4yXE<6-PFN<_f6&aUy?(kZ{9XFOB}hgygL!AlpVpRkrr`;ZmZxU?d>aKV z)HV`ws!H=p5tuFE=SY^=L8Y{5d4O92G{`Aax0$l*g7LNR7s<)bveT(`CNX$DfzIX| z+HNXZh|1^#0De=l4WB}R>+UeA7+)cV*49xvMhvjD#cCvEn^SUI^rliwh*G4OXT36(^;_1Z=?XX7}17jnQ zOPgzlaV%?%7dddn6NUYwzd4r4m!kcbyDQ@`^4$*2J_ES`)8{6qXngL_+!VI>pNhhg z0h%ifl=S3_nT;h2Ux_n(Nua}bABoX5Kh6cat7muC2pCj6MimRkTCDu}-gJ^IZmn|Z zx}^}qnc=c#+XA|(<)R^pjYHqNNnI_jsF;3`+Q|9iHzDA6;eXEmCU9Za!V{9=oQ9Ux zBoB6m3w9^JjeX|p=1}!vp7KH=s-KUP$%K(mw38T0hW!DSN*b z^JPQOn&c)s#`M(@L6!b2Uysxw5@S#yCWGnvwT%|1{r(^fpti7>D*6zq!sB2DcEq!CnL~5T>nh-e*;+wR(-!o7QZ7{fDP&aw#FA@OKmzrbTp(r-S6 zASZelR-SykE|N{5`^;v6H?>En@bGS;qugP1EhP_lWh6GzW;&6R!`35uaC>Z7*78mg z1(Z^b^Cn&*iz%DPuAuFl!ld*SY2r=QsggbNkg;;A(UQw~e^@cZY4SRkI~LC#EHYC2 zqWow6y?b!Qd(B0kY|sctV{Gm`w^Abr^Z_!SjCfvebn`@|BsynEZ&OJ&WX%CLcyX$x zxG??bi|dg-p2EnyCD~S|PNK+_Wke4JQ(!?Du;8fh{p@mHKUQrF8`}#4HPOS7o5y}iA$yuD z#9g^OU3xsn`1gf6-?`I_XRswb2D~>$i}-qWN!K z1^;CC+v6_BeClXAvuSv5dohF#c#`UBA`5N(M}St(wy%eJ!5e{Hoi5pDEr>@tjlpFA~uQeu$BOXNVZ}`*7)J zdjZu8N@U{p;ce5Z7Q%m7BAWiuno@a*gqqhRi?S0&dtD)7*)4>`WW7;>FNBQC&!NqW zJXn>w!#m?z3pX-iLhE?2BE2m_$tTs}X^W@pwB>(}rQ(_86EH@}Y)WN0peD&IIQYuj zbFf&9pQp4I9FR=O40?pWHSmO}0gmDe#i8f>GvLm|$>^Nxlu13-Jq&bRpDZO!bZ8An ze23P!G_ugTu?uK%I~*INEPby8(pxt_J74Qwtj%N17sEvG!Y(q-s!A8ELyi%{*Srd0nDh-Ne0?bN9R)v=YQSXc=u2e_7k%Z4a_3`b> z)VT4ipCB}@avJs)deX9;=k-_j4K!iH82-gA^;gk@!nlk7b@YdyHg@0rNA3edM6IO! zeWTD6=s3sT;5W_#7OE!Y{fYp3+c z|LROK{09V(1!v@UbB7YKTiRkwE4XCD<+p?ZnWm?0E!xJO<`PBuC(iWdKEH{>x4F#$B|rV8~ssb+@ozePX9K_xmAjfl&{AF!(o^%vP-{s zi*4(KKs^n|Xd0ZpR`i!Y*vWwbXqYsw;4t9$>?lhq5=Agme6gvG9P}&7q{z0C2&7>e zolT^t-KIU7rc*;k#)|e#qG?>Q3+66W{HNf5Ej$69C7#TLN=4ged*dutPOZo;-y%4h zf57cc!j)Dv+PE)Lxx!S(zuhq`@EBD9=ok?OBd6Rwq`d(ANEunwYd9SmLe7haWY)D- zz5>$e+ORf%J@_1R7O+ys_&$(#3k%MlP~-~Fj3#kCjA`WTBQBwd4ieb8Y(BncJ`&9^ zP8CYEeWJ%cgLV|`&V5G+J9)B~cE3X>(S94G+uJv#-Y2g&+8Tk|9e`U{rSxDsR2TWtWv}Y8f}4e*3ER+QZ%8Fb zZ&5+8dnnoOcVdnh+w9BtSuJ_cxd;u7rq;vRB0{0s;w>Z_l_E~r99bi0gPGy6yft-< zuz~FM_La%^*B&-+4b^7HMoep(qEBjuY3-EL$gqxH103Edh$fq1F*sfw&(v4VZ~WuAP%Y>762S{PybjDu*Bh zECVMBaDNF;93_xy2dixheUmyssoAB2b=#2!0u?BHwR}d+^}*PS;UtsUa>@!V>>J~0 zW>9Rk>o#Vs_ddAY-A1^dBT4FN|Nl(RZcAaHrMdlYlEajlJxNQyPt)j|_UNRhD+Pa~ zQHJy1xsLsIm@0&K~^k z>bxG-pUL$^Hkpf+&r!)dwL?fO{ej|z2<}bwXstGA9LB0cUE-^nUO#q~RAosTdDo^0 z(9THYG4%0;9o;IgptsDXXKzOIOycxVeZ3&)zn(zQ@mT(f9D1mBTQ=6~Li<0np4(DX zXlaPpaMgp4Zo(_2LtMum-;B@ zAGF(nE+|}p|7xEz0=ZeCb5&Z!(~Md*vWObC9mz%f{iZv>F-`{s6@NGf|7-fR`2fB8 zRz9-Jj-UNXEUDe?Xj6w_+GH1ZllwWmeTMT!$`aQoD>^D#tR9_5HU!zZ%gvIBis^^~ ztVUKrgW1=G-~21@Ig+?qu_Ib65w_26TE&ZpMcq-r5U{tNWE{~LxGjxsQi`_;xOH1J zxXsD}6@Bpx{^=tAO;v(P+33zt+Hn8^1w?cu{5yCE9}fYSJ%6fr2o}ClYM)AMI5db@ ztJKl^^uIu7oqezj^563Z zTseaLUzh*)-n{?E1XnMYpoj~6g4L#EUiQ+ftG4yUJ&!!gWj2RsOXOG@h4DQXJNADb z=55jL)fLQ}E+*Vi>I%5Sse8om=qB^>eIdCL0({D#GFkASu+`cAuo12_5HX4~)yXCH zH!%kANL>X_lH?-Q>vRE>`^E7N?dZK7rBBsj!s-A%3LN_?^adwXgN90p6og%X=1-4PCD? zD`-&)6(7iTG^k6p-&C`Njl>v_j{3TPm)GRq+kIvg{q&$To|uM4`*QF0>}g&pAnVv) zaBu3~W!TDItdWn%~)>GsU*VFRsO$$Z6 z9NudWH4%phxk!Fqd}Wz#na?)`J}2AF=5n1+khHzHhI%pXWTkuxj3{>z`u?ROhbN^{ z;f8=aW3B+X=QbEJ?o#i8T&xwv!lO)f=4X6nPtfty-adUg#PqCzmClpPZBuHoqL~tt zlC5mvp_IyPB5OTU&90h`Ru z)cpoj>P|_Cg-SB=y35N#Sm)0#rb=pHAnfnKOr|{7rrE)&!li-oKtDBA%JIQsL@UJ5-D~HXAK=WAnQtP1t#KsLjnX z?-&BNh=EV)W1Nz1zTBq-6Ys#9ddvsp1_Y7(?}}%l!2Y@{#Hy>0Nh7$?&7!|;ipo*U z9aub%MauEGvkJ*lKZs2Nv^{Nx>p@l+!3u@rcq1K_RZN0XwcgEZL8Q`0V7C1V?h0EZ zKy+*G*=YR<#$zOyXkZ4AFc8NYlD+*L)SXO!YQ36(T7|GX=zGJEW&&w~7l|FdDR9yBr!^zQOfRb)%swZ5B z;NA^l%qBTs+Ml?Ep;gS(HQEhD2L3M}j!q}CNq=eIO1i4SY(wH@Akan|#YPYcTqNGq z)S_L=$-80c(2Zg9^H22<*ol4%0!P2%ws_LhMy0e1Hgx4E*_$&3u{*!&7|o10@VXdM zqs&YwlnN@Meio8@qR~U7clXrDWuWozV>ICsUC~@0ezTn}BoWnHl`(>*_$Jk*v~@L# z66ATZA&CHIv9h8|dwF;cb}ssA?F2{r@Z~J?=zyMRWD6YCv^|R0Me{SW1UxR05`-?G zY_S?=s*tR&@f!mIb+*qEFMr!@svLc|TVmERArc}XvvAX%VUXX$*d#D$j47vDRsri% zIh&C`g1m_Ml8gM!0>By7uD5!Rbt7e6JB-eWv#BVO_bSl6@34B;s*N2cH47&#PbhCS zO}J|)`@d1v*qpTYSu)`GoV3%^Ns1>^5xU>Kye`0`VJ`bm{<`uZ%I(eI_b@L#S!3TF zf5^hF*$dJa=>(kmt{(_Su++%9XX^ZIb6-PGCFhdUf~#d2^g7(TO`qA@6PU1xd^ z+bDhtfwDlE(=!3reF2i1B-y%fW_V+Kr@cVdWaYM^OZ3ge2_io9m{b9E!HMyrWS5!@ z{P&pUb8gg~KLl~Dm=%d2F4&f#ZwnxxJCG@; zX2^;r6?r1YjS=72+Sxo;dKx1?X+En{>cuI@VyiKG zf6#juRag|D{A*DIcDmyYiAa{RO$eo{0+es5Q}Iz27E4kj&Cd~l8|+)9$wUapf%_ZZ zN|pY*^rG|oA0SM7zUB^JGtnocCyNh#znkGu5h(@uMn$Dl$Sn<4P$(m@#D5b1oV1W; z-%uD)5(ocXbC-Thn9q%Sb1B-gTJRHSypsGhKWYK(T+p@J$EX~TOAplNM?Z}`$Sv_~ zckPuD5Y2ApZ_}-CJ(Tt#X1CE8NFi;kuC_)Z>ecG*8NmG_sal3kv~84(r6`o^=($`D z2~a|Hf8#xAL)=OsmMH%UOZNk*K-=3Fny4?6w5pNbwpOBvAT=-i)fJsez7y^MK5Njl zP%5q;+&t1wAU*uR;S{P~@8^cf_d)z`&=5a9S1()J;@gHu5T}V}JlakEJcqbGf56RD zuL@qv+K#4%Foc9dF}QClAgy%15cx^~{!aR0Yfs|_KQufL6d*4)RDm%=ZR&5VRGi2L#x z_@DGbH%tOtwpssv>6-chKNMcDm{CAhO=6X5?01E-Lh|_e1?URCY9}x?3ZUYMeV!vFmz+YsClUTXM3mD|B@QgGMtK~I*+b;)|`*^dMS zwtr_L#^@WkRd;x}eD`wp--|(t|8W!e9%yi=R7g~{2tU76B=>xXgHv-Hid+4@5!xt&2RwkT#Q{X z1j@1o6`q|6bfp0>WPldSkx}y<R-Z+eI3qIn|X;i0*zheUn)0OujtB2#} zlwPl_{XJ~zw{?6v&v_8UcLncAsY%+vVXX1o@oHA4?~0vC12xh?xF>po@yk<|ZCvoE z^Hm$};shKGxil)ZI0CkHRVkxhrgoYk@654o9Y?p{XFbM$?#c~!y`7AcEy9Yij@V>y<|MSo;wC)oWH8>%Sc$5 zX-&p0aN=Ga(|$nD(l%pNXGt%Zt|5XvB^%(ctPv`7jG= zuM+V5Qb$I@T)ye*E{S~;U@*{L>*HnUY@NvgxnMhK;1OeI1Yn^F(Ccz6Qj?OA6>#5^ z7?B7c4=qza?7c2) zR3qOZu#U_t&Ix&6CRG7j)iQk!@MIBel;Dxd7$DE)S^~;fiVh3-6SZ7oXFSZTTu}6& z^o$sDzkX8T?bNHl{79p=HRqbJ!dkJRH-gW~C{Hmo1dmCXrZTTt>w1|~n?f%`Yaqos zKQZ6_pfaQzqGcp%M3u_L1#V(T{$+0%JBGcu9r|{OY_m#hT*D;&e&F+Z8YZJ)pFE^8 z&1qk$FQJuMM7mFA%VFH^|)$itFa|_;yXOvd@27EGj ze87EZh^?c6RBrKzSD4Hg0oA7eBe`p7HY>KZ@?Rj-Hfd#K}rmcMrhc-V@5$+i4^+NukMTA4igTW5Jz;}xc{`! zID5YhzVHoCX`Iq1;T$RzEY4bV7!uj}B{u(c1+De2 zKX2gO>Ud=73sX;22D~BDE|osmHJAx{DGEe*S0~E05r0HB}o(tS>_gRYUlIYH)Ggvx;JcRlG$Jo@8D(G*RR=?@|I-SGUWUr5VB4` z1@&(QrCDt?&Cp7b6`r09sNqCkH18O20MNe5sQRMV4lj_{jz zuq8O@_a}2;cgjb`@mN*st5E)`s`>%JS|y-vf6U$V_=+XlA*^DD(Z|N`3ViFHuPG z&Mh5{(D;`EH4%(Gp(!Ijar0uW<4VV7wnUu{;MhoPnjCGKnW&bFvIy;&p1ZkTF}h4b zyI{NPF{k6NY_EYRRvGLP=^I@Hu$}s)eo*MN1z z?1|Kv8Ply*Ap((NGDBk zMw;!)UM{NP2P5`D8&0evETx>sR&W+vk(0uqnjPe~6ob!n$@Nc*x#@PkT>oJEvf7H4 zHzTe7C^xA%z~^>pw~!B~o~zJu4}h*`d9f|q^>(Y*u#^sBjhT6eldoi%WMt-di2 z6J-UW4T@X|J5e`2zWr`CnJ!QQd!1RHuwTircS1B_hfWA*D#PG}pos*cf-dYI20$o9 z_z3Bc>S@;nKF(+zz!o3oo`4hp{fO=J3y)CTU~x8Cy+)rWqzPF>f4$1#Y@L%81o8Yf zUXjrO1eQMrKBl3Lw1CJlrk2LW=BRF-%+QVHU-UMmk81AFYB&20s0rPCPofSAe7|Rs zGUEM6kK71$Mhr^Y!!U>R?}b|wUoQ}`fYGvo0t9fdQ@l3IejAaTQ323e?J`&kZA&rp6Oa~9T{zjq4K5NER`T#pb-d?_#y(|b}q2`Ea{?SR%Zw1wfN zg(A@`B;RMt!cuH=+j373GSGn4n)ST&hA zt1~Oav{Mz3WKX?-uG~cp!z$HVL(h9Xy;lzopusq)!!(!)muzpvsqk^(d{Xzs2+fH^ zL!l@AbWid@D`L%v%?Y0x^Xi^iCYBrY4od0XN33m~VLx=XbnMrA|&! zFZ4(e?TE}Kwss)tVvrY`=kjJ&T;FV4!>@0bi=C8VZ6&)v2tgCTCxzsM^3&b0cb5=z z>I1VU(gc}svQ6L)yK#o{iDz0pm z7@wJMMNnF<=MY-ofLQK=NkY%QVE&;=PIbDmkgK54H@FgX<40Map*uhD5eYK-o zp1};B1El}8W{Mle*Mh^3?=p}f!C2KpP&D|JK@1QK=h|`>Jp`^mc4o^p4_@L;Lpr>= zwU2=XR-#VXG{PJ6vdF&n16}AAK+6M}Yroz5(nV^H;fRSBEOg6+pwZO&TQ)E)Qj6J4 zmbl(Z34K2j+rLbUFlcR_|CB^?L|6M5uF4yl@t$c60$XBzj$bp{0w~4Cj9ue0iF0QG zgk&GXmH<=ZoQG{G_4*?k)s&288w}UuZdKx~mFE)2j&TCB^m@x(_&s{8>uf-$0Xzj$ zD^G5_$;%=p z{!}erBEGx;mt&DeM_)?jpZ2miht|O@a?^KPokHi*L=e%+?;I3x@o~4I?RwUW7rf9< zdmSK^Klc)wCIs-}t8Q=6I>LdxwEgjUj=T}NTWAudE_CU~jfgQ$zk#jUMSmXfRbTZ; zujLhMi{{Qk2s~%K*fw0G5-w|WSJ{$)HE0>@?Q2HRHmiiI=J8|f#_JIwUo`1tRE8Z0b#_cVE< z*GY90Hz_5N4}pL5mp96qpHKCVRJS?as#QPrU+~Fu_yXW9K*CfkSDzG?DVS+G_-QI` z)``i)I_A)`5n){TogRRJW$*kLlA5ZvnBx}jSfa>^!#?)f`vVxm84qnhyOJjxyokf+ zg4#%cEFo?yIR93UkN4DRxs0jsrguC31HBRaeDtT#X^(P^`ItkH*U=Av_a=jkQ2HvdiX~9204s~x@!FQo z`Vy>&125Ecyf3d_&}`GUqW)BUHV>?|sw)y9GycMetUHbltNLL`U z52TvwTPE!QyYg3;Gld#k%;vuUn>+rsNOmL-Q1s@G$L`VV)o)rmCm;l>eQRGC>HGJ( zoCoC=$UFmzcN=2Gc=rTMN+kyu175bH4%|of7KMwk=q2V-4(+Iv#e8FwQ66frd!Ms) z7hSgy6?q>IMv==hFcXHPQtes&D6q(cFEpnBiuvX)H|$BXDuCDb%kPL3j>)A_2`Q9G zQvuO!yqQV<#+iL~Fww6AGbC?KWX%Q8x#RH2Zma-2?VK4DsP^_PWn1dnDiI3pUwHWm zAB$Nf!&D(;PARU4@SW@a5_nMK@SKA~MUI|T)o|I_9(jOV4|hy81bp=jLHqLqR%5}c zsvr?qz^}p}(Ljf9pnAs%)y45u7$RxF-#2qkH)PPo@Om$+UA|1Cht=vUR9yx={SG*s zzC4Ya9`Sq>+)$<9fRyU`pMaBFbrv6dqQbH*pbNS!KT=VoiMD9fv^2;rb_*L4DvIk+rH-W@N%`wZIjuUiYRBXvICp5R@~#D|SP zIX#?%sCOcQ&+&2}4_>GDXhIn|FS-j?7{teH0}_NyKnVKLQ0)P#d%q)ZnsCxYVc8yR zCCNxIW=M)$ihAuirlJs0f#f68dLsFC5fWA;mChMe{t42_D>$L{u$3(LR!PZ>ojNhhVd+HS#zPc=SQ|f%F zQ^I^5)PF=1r>y*IK&tdqrBqoJ>QeWE!hyFivRE1roaV8Z3d?IZ>J%Mj%ooo}+ZpE= z(|T{9;rdH^`jIK|PR8w>kFc;e*T#{vuBo72aIgDGb0P)Y+|Ifl+Krc z7Icp~8li*MkMlIzcT3NR7Vvxp59!|vvAWL*l~HpAg+VPMAP;y4#7-N#KuU^xqyJsv zTdv=#y{g@h3`vb?p~rloWHZ)ux9gU$gO;_WB?;-}lTp+AgCqwj%9J_`sGkW{_wr~d z%aJjZO0IWRlmYvel5;g)qMHFq92vtk#LjAmCO zh>gfk5Q>#DrT!9w3lA3gibPBwKdffM2LfKh9m_qfk4$MEGGoLHlI5M=y$dF@i$Gam zoyrKaQ`|4b zWT>O${X^O!Yf2UfRT5l>L8GGic5~E5sNx}cYm&~mKReuk%kHe>LgOUUCYN3j{#sk> zBCuXdP1oO|@a@}qss!Dg-TS?HC*A49EM>A^xOgw8H$yPpeGV#|qQ-J~#XuzIPg+9S z(WQbZJ=y$Ddiady<2HJgu=K35J;t9xe2(d-#fs9Ea7JQXaC+@vub6&tPHv_5_ozNb z*O+Xv#x`2=@2hbW{WDGVNsRmSE#vF`Rn>~X>iqbt{Rx*mXq4btrL%K7(LBe*+Wq!{ z@e-@0w2t?pv}6X1Jq9J^j3x^T#L?!+BJg~s+XN(h-5Kh6(a}Mq^wSOPOgL!ikzYSv zn*0wFMiVEG@pd!5Xsoa`QRkr~E9bJE3MfE3+mM1y#_XiYJSK=L_Xe5wns_*2E1op{ zo}JY_qr=E|q@~?&cQJ7>5FtaA`7Lcr0h&ibx9PgcmVf0edA9}up;P!xR$q|hc&ofK zBUO;?r%jF0X3^zeHBE92j@rdE}2j7_Gv~echH?RXnPJhJDahcc&-PdHy*|vyKb(4h( z6xvvtS*vFXDJJSv6rP{p=Slga$`Yn}?B)Op-FVE7vanDUQwZYx>YF&4j+8NqJ~&zW zPqYR;xc47C&>rCx0>)q{!5+5PRf0k(SyS8X-aG6XoaNydK$xQODGSp}TK3kdMD!_L zwk|z5bhu#Z37h_rwjjtR{I8L*{3&YepS2#o;#kfVR@QOx~ca z<$}&|=Y-%^%0$6}OB|o2=0;%lx=VzZIpNSrEuW31L@jXBB(NcK;bCHY@At>>xUVRDc1+_=NSZ2vqnpt?J zp`gn36XDL~<}RIXM#hg-mC6d(3yDKznE6cwy#!bj{$#gW7dD`Hw)CMmr39kOp!Wv# z+oT|QB!dejd8~}S;Ov5P&xsNyam^sRd_Ep!LePOk-jO0A+W)jz{3sFGKcvP~tRuR0?Cb z6ddAGQ-G>e{&HvWy;xFp@0Xc@pgVVa9+C|y(Pn4hRoc&zvvq}OM!}DIl_$89pf5qe zLw!6s#O(ySpZ!%F^jNXPRJ|+f@IUO@n{=a}LYq*rlA&p_i81abqnkdcM--d!u>#1Q zu%9sQL?_GSqMKiV4!qJ^O3gSozpH&5|A=Xx8S(w74{1wPUi@9;lpoU;d)ib$!Vs)T z=Xaqd;QcOsGWYb?8B?|;KVa4Dx5H_1tlr7{V>RSMO*C;$tFkihMQ6&Tz7>^?^R4IcED4VLp|o{Hdx`=BmaD zhY@5N8$Y`zc6CUVOP^)|s;7p42v9=qqvPWjC}(F!YawBVVcDtu_{S|63eLL`Ei|B|FgtlI*WfA*KPo4PM}%Q zfc&7{06)re^sVB7ZghG8RBkOm8xG6`4?KHuut=~xvhYfK-UnU z5w&}&Ex;-^fKR|b3m3%)mCKj->BxxW0?B?Cbqf!`#RuhT4Q6QLKNK3!ArT-6*dX#x z_f3gE4B&4Im{SXIXC=uQgON1-&m#TE{G?uiJ*WzBaVZFyI^g5l5PXvWC0hvEV!)~` zLKhc-y>EQ6yA^&&$0I^m7 zFt2XAQ~zbF0Jc6JK>s?VFE2pU5@17j_3EpC8rxl2CiEnx@ARemIHK~bPp3Ocqr1pV zNSdqK0I&MYZHuvU8e}Cwq7(M1W{SrF({A~a$^WGs8LGY|fb#)VwS4ZaUi3;gYkwB!RpJp=aSNWyeS+s#P0)Nm@MKfMI5 z(*+&ki^%o>m0txBJHLE75-vxfe`l_L_oW-AJDS#?2WqJfy}A-93J3ZQ56l}4khu;a z$}IOU%{}8c3+a6$j;rZj+7>d{4JP~dq8IE}eFG5_q@^W5O1eA~ zL>vZ*6yn|ucmx(8Umn5_XN|@f{R`w0SZE{I)Vlu-lwQ=>9>y08CK%sMXl);W_6lsK zFZ5F~*x6=Zu`&+?g?9i|s{fU9w+JGECK%l^MBz2Zf7QbvdmvAoHx=JNp8SL+x&%PG z!YuMZts$fin_5YLTPx%}r zjyDTFWds&XsQ)Q&VK*xL?ecdGVBrkRSs>o`tjngHTM@UbqiNipz6 z%mBrXfKom1scgK|4=;`OQTH$Zo}cNO^Fl`dGdl=I6$ADSN$5DjpOx5_@;`g2^}PDu z1sX42tiGZF|EZWbs`&pw4Mp$&&V?bKIcS$#OV@3ZEI5T8?s%b!d11Z?u?u%64D9xGr`|4J(>uFEwHidj3E@nX;F+=dciBz zxnEuQh=Sh(mYjur95@7s-2i_ov0UEBg5FUhAD6(%%u#DxQ3Nd42;ptI0px>BN6m3_vu%E6TA`zuhbij(>wSQNay z)mT=I{1=j#b~oPhBrVyS?E_DM6 zX2Q7|t-%_zWqx_(3f`y}k(~(hv`d5TT@O=CbG-VhACJvG_S9aY?u6W?M(|yG6qfGQ zfc3`^SAn@Ar@Gap!Q)MzJ3$M!Orv<7efnCMvR7Wd9})E&(bm?DhkE-nHIXK!h<_7* z5@42yp#R20rsn-ldGCf18u_44mu%2S3lQDgS zLb&I~&bHPTFj?L>5_pwE=k|20gVuIs8x-}9#hbGi;`UXqdBwus?vdrq`-Mx@`xbN1 zy9*WDr~xo*@37vaUhm6_^+PAB&*8_*%}YzjX9z{2xWQf0J{MlR#wW|!+xwRk-*?Qx z$+ZCd5Fqux6Z)C&(~R)FOKqzR!mDO)RVuBM6r;_He*lD+$#~957k%2koN_Yu&kuy= z!L9}qbLh8*2CU?8w0@)ZX1C3Rl8H7A3pbFyiQ+Ma}C zp;wXGwXoRp++t?<)IiK=vfG|##?k{_fR**~A~p8=-`+Wh!yI_osC5^ium>9lmdGp= z_P+%I7-9Ap6rczAtZNz9ydH#mML8Nxrt1Q!kS=**=he>IPwEn9T%RnO)ye|EIlKDe zDBR*vTTuBmW&2ftwbY5H)X<#x;e8{PYbyeX5R_*DEV&5Y6}G2Hd<_@fXRP|nr0^=D zGxH5k?F$InDrIrS3V?P3#{!{r!>j7%0!CzWGR{1+$nfTjCW29}tRA(A&hD6_yG&&J ze_v!}a)K93w=$Q(p^J1mG)(VRpBP7Mw_SDdhmiVFX0TAIiJkysz)JBFj}0Y*C1JGX z8x_m_BDMgyInvw>!19C<^3hx-!{<8>B)VEyR8LcV*)q}i>PXo zf`RE~xIbxAkadf!$V%cmt}!kbLXpuGdcVrs77h(;jnKO4+DL;Z7=X#Z__4kFB6B=E z4AfPOIkb(?c>_D3G#|2Jv&vd~^q>G(UrxAjeOBj%g$`!&v8NqaLKsleDV?HTjlX5jgRux|`NB3dE*x(=>1CQZA!>-obu=;OZv~eS#sn z{$Tj8lBxS<8bN3i6Ucusj9LqpvSCZ1nuX4m!)SM$KCUv0l3cCrV) z-+mHo{R91Y(p;V`yBVfM5Uz@#O=_WI|1IyG>^9CayP)G_^7V&9Ni zxt1W1FW$fq+1$Nf_|AysIgaF4mqDK3F9Na&jVdQV_vYODF{R0E1zn7np71M6Iu zvru)57XvlR6sRwAU|dOeLj}_v)90TCOH8)VNS(H1BTktDcf4p|B->m_x}%Xh9|wRW z1!?HoDl1HHY3!bYz*pycD>4*Max5_!4`V^)e}0r7&F>XLg~JmBS$;GK*55eR#|sD* zyb~g#i4R|Dy<5K8DAy7Gs{9Pg!&kmmY}>H|;(V4Zv-cEg2y;z0B8)DSgu_wb8wMY8 zK6QTIXtE5`z$gpMK<*U3pTfe6{WZIYyM3FH*CWxOV07i9b?V-$rOk1xnk z87_|aH}|>S7~`8Ma@(L0)4U}X-lBCBC3{%`@C8SGx#KU|C|Z-A)mDTKFW3P1F=8t9;RCyd$rlTQ@6m zh5?2ymODMbh3nVB zOVdqcogJ3QoFpS)l7i zfpkV}{KgFWb`Oh&V`JsoRV{OowHSOHfio0ybl+Iv&-AFk_P<9kp56}$e=<7Qnjiy? zxw!KYPI8WeBfVaG4?+3%E?ha5Y;nFojwYC!l@2QeX$iyp?#aoUf!uM|sT!z~Yd)d_ z5AAE!g+D`IS)lD5or1Q5v+kZGMXdjsB1rG)v#5{cSP^R;+xpFl^HO2*bwPpW ztJdm(<8Vm~{3Q+FX8Na%zW&u=hr@+Gqz6(2Nt3qrZ0e=Q4)I|D=xYcto#cpJ50ya; z_pt`T(T8E2QxIwe1+@IksD?%`yDnKokB~JHYs0^7WY9p4(`%8KrZ$~Y#rd`SgaTb7 zUYNzX_r2Q}9F9We>({WAr$swf4wo61uIHR&7c>`cfsa=~9+6KazeuL*!!ZQ(7h0@; z_G7A8AQsoAb*Ff5QN7xPoW^&Fi0LzgO;T>$KRs(faMzXbMeQXu1Xd_9BMgC+SN;0v z-!~PgP+a`o!r*$dlT`SQ^QH>%zY6N_e3_R(#OeR5_3bwsZ6PYu7=wZT<>2vqOijF6 zZ+QJzcr4$KYU2PjQ_$c4n=<;Ns>04N4G6Q{+7)-m_j89;pAx3L!M;GJ=_)bABzi^g zeaohyBbU^80AQNbu@6w6{lGgLP34tXNX-`}>%VBP?#cBacNtD8T!f;K4}Ri;7b*ut z(~A<|z@7MIl?&o?Ey2~sk6!T(IBvTnBlLf`_Pnd8z)yXz!t#7`-n3@`%sN;*vO)q& z0zgf9q|L5m_0NVpuA4v~IGa6a1ap4GuCCiqPbeFVn2F2Sg9T|al4{UfGQ!T?=AvXe z=-zQCn+T#N1ig9PN6>>TvT zgPXHp6?6@=x#MF^78JgENqVYmL5jlDL3@&nEIJ}hoVS@j z7smcnD%Vj1My9DEk*WD+;OV?PpM^80vg9#_zRxk+D#RIyhh$c%yUWR82o z%q=L{Nj4j#-)bug+8`e^s6t~1;`?A4N8dVycP=*dkjTT#FDBwLbanO)-QE?rN8@Ca z%cMHt^oDP~tL+^u6x2SHY3}TAsy$HPq_QW}%JFzECd3J{sLguCIjbR^3(&{gWr`(~ zTbubEu*VO zcGXSAHdFoUy39c$^zG%a%z^^Pnk!@bCsVwm!pk#e+*H%Cn*PDo?)M_m&dFLbMPf>x zsuVIA37M)%9h2^)3P=9a*ROI!K@4#Y?`@-p>mj4#Id;+sVaAzyl!5pdXz)`fv!$Pp zwT#ka-(X(D^#T}b-_y41*|WZyi6^6NW_uz2L6uV9 z`00oXot#=Y+!#ZoWN~wkjZeQD6-Bd8%m4Vt6dpa}NFklwG+BFOn9fZ&#gAPrh7TK6 zDq*$FbaeV6tMC?k*JPn($@&x&er7{uX=<#i*G_ygOyiMtozNi3L(KpJtB}z*i9a(qarJpwZy9rb z|DHV(ad4qz_0Uni`O&|=UL>?7$z1tQWpO<(o4AYg)&e(^oY7oM~TolW$(CN$xi%%R%~4FbOi0$Rge|E2>+%vs| zU0^jFVmFc)_v?>$B1 z@UE3MOclZ(t~2^2U!s~90K=Bv2!VcjBv{S?M3AL6Xd?S*+Eyb#A&H)5oP zyC5Ub+v3CweG8ba${bL6B>Cy3h>~2E+F#&wh?3|DWmeTnR-)Ni&XHlWe?t9yL@+t< zhWR-5rfmOD>;@vQ$u9a|=*e3ZOm;TLJ|a>(`X&Hz(+3q)?bzpLtq#rmJuglRKv z>=}MMkb!u#4mZPcCGEea*@j^_F7~JM!+hM^&%B=+qL}wfLo*G_JE5J^?29vP8 z*<50(keFYg$sRqx3J@~EltF_iT+403eD>cKxUg>MEB)#LWmL`sROc{8J*`mYIiCX% zB!8s?YrGHiovl=uS2F=ZN>01Gm%iPpgaX2c%(P681zKtBml!wD>|$}Th-+gFLce*$ z49vI`Uzmer+af3h%X^y1?rG;{V@a4SJvC))jkb&WxDr?BucOPkH_I43Du8XxsssjD*^}U^*^{X+Q30cffXqLA z8IqKn8W!LN2!Uy7S&xk}ID+%(&`KVgXsfc6s6sSl`5US8_O#}BBWu&y5^{GJ^f9PM{tzPvqs z{og+We}1sf7|o#vvfu^TokXi{YU$6PIFuN|0N~U$G)TFbVHq=`f6dQ3t81EdSr=5- z{xWeSO+Z*lO~{CFma$r*uFyA0kLo`oi_frywZb2WG)RK5ZIiv^msL+e5E%*MU-IDh zY7$=wEt@G`<_hX;3{H>Y|Nh(HZr|{TuojW3QoHwL$|sM70UA&(Iub!~HI$t-Js}O1 zbFf>Ze=Q>WHjHoT!CxnxkxCrXky^QRvk%XO*-E6mnmX*8@>Y>v@OIVF?7YvypvM(F zeXl&zDT>7YEmS^WcLhh8N~A->pcr{A3z(H>%BlR(!|s2zE^l z5=Q2Hu-y7`_wASVg*Cn?}(2ITU@I%@md}?%fQ>1ik_& zDJ}=P7Peq@OC{yD)tOodBB1LLpS-7ev?GC_3hI+bl)H3CD0W_U&hn=~C7%62uR++e zwND&88-hs&_3(lba1z2|(|WN-F*gI{T(k_A({Si#!>gqy%Rmme)lg2cLtLu+^#}`8 zCr?7x&HG<^U+aMLRmGiAi0}`)rC35Q^l$Y?fHg~CaO{c7ZIihD+(~l_ALP&ufCLfv zJ%hA*cLm#}GlZP5|Arzp9u9ClblvxNwPd!MraUjGB^cMR0HKY2uC5}Sa=})AU@b8W z#{bSso%0iWY2GT#(5_i51{B-Qk%%lg?*ldeBVUMsf?mrf^@k{mmf4j~JS3jlJT$gbK z7l6)`Lj($|Hg=xCDN->#$E;OEg5@)yJZL){TV|i#hA2z zQ!$2JlLEuxw2b0T%kzyzZY0+MJ&72cS6G3Slm+Kw)RAY1kIQ@OM&_@g$Lf`xOKj?a zn-=MwKXdzgPCgw~8C{_IBU}Zsc0M>6Ayjz>+7)r%=Cq{UhtWl+g$`UL)=i1oVkhoz z+H?wUYwJa_j}4A$^sTz-4@ik{9)tr8lg=%Fd=*o}!d`l?aMcGS_};;bnn9DYA|x%= ztBEZH5x+ju$}fIKf^xOWY@Z<;nWE&^nd6^q3fctL14m4i6o>MuPn4n zN*D)=3AAdJ<${Oex8&MnAO!0Myo;+PV%X8?{;mzrk@8K#NK8}|y+tJBaD0m^mo7ISB2{*dp>bMM&#H1g zM(z`$Y;&EhbJNs!)f(WqAin^3tl>l)a23<8ZlwOvEZ_B>7RS-*>)$~>q0FKo85fb? zQBUNU1ZPeWlgDAP?m=8mZtgAWKK?Rhptyox#a&6o(VQo8hHXaR9|m#33%mRn3F9QZ z7~4svw`ZUwo4>Tl74KhhZ)1%47+d?vysX@qSka^vRNKk7b06$A*X~e6^t-A@Qdv6T zUEn^*0Vkc6k??kgE6*alikVP+8FN^D#{>)c7)WXfoHiLAy7D`pTLiuN?iUonM_=@e zABQckZu)<71YC{&FYpL}3ZEp0W~At+t@eG)qa@ym(HJWFuTj4%b+OHJf`2$}p@iTCOw=d;NB zs}+~K*8Le0YY(@17H#4N&#mHDySjg29ML=Z$AG>dtSQ^Vv>hMq4o>d?*FeMPh1i}v)2{la~30PyfuFnP|*o+GY z$*PBL#xf2Z>FUh*49lLiq?+=v1B4Qs@=nskz8nJq6z>svi`e{%y!RL}n?S&f7L#28 zFZ2ZAFP?!n#nN3_SsQnFK?ZJ^1_v=aIk4Z}6pBTbDnBbUF;&V`g(>{Z)=TESo?Ip+ z?@kuszyGQ1drmu3BW3Az+ieS2pRTxsEa$ps8=@r-cPr5Ue0Gnr(nW)M3!JtPg>ld1 z3yZ`B%rfrwi`muVE@5H9VTvB7^i9_cLlN+%-nNb;xMM3mX7pt2ENB}kjMnX=50GKS%az>jrPgj{f_nw_H}4)x3S#}b zB&r{%RWX`wk@NCy(TDOhPc@j?9%suFn%<&Fn?6VP=Fvw|MXVjF)mTNb`q`FOZv{W& zB*L{4dl~gc1CW-lfBDN*O4$ z_+t#hX|GBf0!kacpr_bIaov*fW$`>H8Cg%$;y=31cn1uIHIIKgf=uyV25+EA5{mDx zRR83{JjQJeDd}ZkTys3eo?0V%ShSFoW42t!tF~yvlHVb9Fp*=`zT8AWmoNHmU;;I^ zCrXYhOIcbf*;F4A-K)P7b*s+qiXk4&@`B$6cgTt`3I-TgsDG7Ta@ztR5pelKyaEmN zHQ@X8x?*4+RST?wm8ezzVn`?3gi>%4lkwd?qp%7lF&I@gmQVAfuT0Es5+GnPXnRHS!>IuqzDjcACG8}~VRz5(%s_c4HMGpQK9-k3h1=T#Q z)Qgh;=``20WCu@{h9bZ0nKmtOXi>KdvgQq-O;z1>+H~XUt4w`(qM2L^55V%D?S&P? z^9%l9C#z<>BN~5??527{V-T34s~D`1;nY_dCaw(0S*sPGJQoc59vb!WATRQsdO@Pp zy|#g=yRmWg@DS3J%Il~FuG-jG{cVmI|M9%9)91C?Zqqlj^&Z7a&}mxkk53Fvpl+lWu=Krt))Bwt4tIa>_y;L-IVytb2_l!Urj*upZ83Gi1hU4A*3&{o(kt-$J0H)L1-13!(e4pl+8wukkKUQGtnk` zu*B1hb#bl1KQa{>%CPsZq{zQSPTYq(5{JR?HL@lSrBCEe@qkMxl^wN%RR2fSfCfe9O$Q zB6DeSp3>8x)KfF7(h?PY4+S+=OL#l+N_C2K?xXCa@`Wf+HVG?IB7UUW;a2n_m4UYel^7SQp#VR#V&irI#|4~7FzVOh2uwB-V@{5I zOlv5WCboOqa?ewKzt$Z2*OM7mb0@Ff30=Y1`u8JrE?nQPi=pnfKi-3%MuZj#D43`) ztk`Z`9jEpGF>0~*0lknNb}KNfil22qg9r%1^C^ol{$u@{hM2DH;$JY3cWt(kIaiet z{|ykmMEsxRP@K*G4^m|RTNDh6ekC>Jivua`a-G?~WZe-liF`KSVBiLbh3ntiNm*d+ zoc{BJ^#4M1C7bs@({KHLF#k5ABZ1=t2Sg?kV_5`&qMk>@BexdQW-(Y4RkXXbmx9y& z{H=bl;O;-^t!)*fXmYV_VdGxf)6x9s{t&PV=JQAAe>7lzEcE#?6B3^(gjW;ou;%O4 z=#;iyk>ynqa*!g$Zekrb0n{4DWOrK5cr~C#_)<;|ebKTLYURJ+c+NS|1&UQqAu=5S zh-8|1p6N;@)49B+#L+BI46*~!h-A}$J#mx%P6O7>hzH94dgT10?4mY18GEW!(JG(z zjgl&B)L$QG76&8+f5%^%G zW^9~1rut$fI@S?9B@s>xR$oct zEwU6knu#M+EF!}r{X{p>Xvj;9?Cl@a%R4hXZ1kcdX~hjTW`eLWjf0FH-5_QvwDe@v z9pK~}S{<=dVtYWGYt5~$IM5SIRm9m5)%;&^mdj{c5i^6>&5UxPayzRDj8bwWdKVgS zILx6R1Q)<1C7ybMaRhVmdEAIYG}>&xJ`ZSzhi$OZXA^CNT4BN%Y7W5-rw*a-ugLcA z5WnUJ(SQk&UWhO6-d^ucw;O{!!MOB>ArWzTT#>Q>MD5Z;qb~xP+$0GxZmWV~Sc~(w zD~N0MGG{uJ{%-*_dwz|{hIlh_M&wtQh@LJbiSf)8lqO$o@LkId&VMI*G=8>)ZPbHc zXl=&I{vrHgr{f<)efSd6cEinJtrau<%GleV)d4C;bTqBgjm8&@>8|Yu%vY%3$Ya%u z^vy`bLqcV~kM>PTK^6BVD{xPvFG?f!ruati1o{S=Jhy(C{De7ZEDxQLK+Cg#`0gP{ zRgwu;ptLXKt_d--`kJdc)ZngLD3AfoyEENQ`E&yW>d}5BeYvIH)@~)>ibn7u%vo$;C>LvHFoELRd!?bndi5ydaWS-JRlWQrcsC}Ey*9K3o+A=m zZVZF^L_#mgbqkhDudiXDV)xDr2b&X-yT{gcQVCeJyFoUM?yB zIV`5ALE*eu1v7Qe<~rjLP&DikU2zIQUDxTbgksbBbm`NGIo><~Cso8>@3k6BSY^M| z6qF&Km%2N&;X&8AV7ML+p|G6OWV}_w?Y1?Fy$0M?yOyA*{EynMGAOQY%QghMae}+M zTcbgP1$PO7-~5y9Cz|+=7PSjRy!2++72~A?P&uzV~XT-pu@%ns@%)s;*n- zR-d!a+H38-j>@ahqHHN^(v2r%moC<0pRgk4SXLLD&@QN!{YhG175pxe<}R+mWr|$@ zXN%#Cd7I;aah?$hcGU(aR$qKT-dXxY_53-^Sd=fG0dt!0qC4p5f_Pb2LVJ{!lN0Al zrVAOkt72utA~I-Z#$L;IeJw8a8|oKKgMD39)oPV6*>XlK=kPBpNxt-%_IOXpZcL47 z`X1}Et1RN%apWpQBdX=~YP>8|tOegaAEwMW+K6Uq8(Pt8#`t;upt;Ewsu^?Xyf1|{ zy}Vwv-dhXMX04Kl1TlyPvUbw_Bt6_vH_W(2VM_4{C#+}9m5G;hGkPE{*(K@i2@6}I z`#K%;ciX}*k=`9kk`$y4iExTwEt6M_lh$nNWI^XxF7h@3&Po0;1_ zqI+Wrde!6FO>%blF+5T#AX@C_>+592-t4?#?rRsGGpyMVJUvd+^X)cu5+XWU$lJe& zUXOQ;daVCeruTZBXxsbTbXyLdZxYWH9}q9q@mXa~gd#d%s8-EKe|-&Qwpb1FIV2IP zah0I7s|$Pf6~GqDNS0}%wSE$U{1RJv`Pv2tt7%fsh>8HfFvKzRl&tXA+Gqn~y7pIp z0#`L!N;qIMUA#3m(W;_}NJCI`MNjRK+x;p!^sh#y;-0@4WX_B~$xd9XTF-d_ReN{a z&g*K5Y8)?(Jbx1)0_d~TVg$rua+f}15*toUnHVs%yz&XqWZE*>3ikxqiq3#B+3+&* zecvfb;`zhAeOPZq;YeEII8rFVOXWL7T0psbM+rn75^VaLd|`f&3?9Ev2DO9?i)gDrg^A z*m@#CN*UKsT<)`=u&wN&;#~$KsOrEq5*!i9t_i0-*yJ_|%|sNA8~h|UDzy0e#RWb~ z@TH}0bs_Um1%qCt;Y+`f=q-gNc;CMCVdXB3rI=y&*Y}}Kg!b%OF}?7XJw}&c@b^S{ zgGvazXXIajuB@J>4DaD!I;CX~tmhS)XOm)Qua=DQFsSfpJoZfz5H8Kte(YOYy<>V& z^G+J7CU5b&90ah|ijM=#i0E(nlspqgyUey;T{{3iTlbEy8wgX=?Ccaj1sjO0(NWTj zEKt1W>^--MC(l7j4isZYpgw2mI+O^_@{nq>Y9EGss0J#;&P9kLnO$PbR}+qXOo}Fh@d=`TBb0X%!Dp1mCRx8paNM47~8l zHhMU3sp?-}D}8~-@j&wr^U;L%HQPUZG&pzY|LlwL%zz`z&Ho>iwka9ew||rG4zF)A zz11rNL7S_1vO6Sk^C@L$rR+p+E$8|%iAN!%P&GkHX_+$*_!g-7y|euJNn4sALIs(7 zSNDNOe2TCEp8x2skw%pdwW97d${k^rTzRL5*j}0tZmqW_ zurS@?*PrlN!81YAP81%7V5HNF*AjQjcb#$&H2HmLO^@Rohcl}sc&CwB5kAwrwp$8= zdLx7bd84sv7p=4XB<#>@{@%E|Z~(YTyi81dIR(^8^cEIEG8~UTPIxCEF^TN|-=i3BRr?IN zWU4hq)Wd+Lz4t|c_h(0e`a)1Z^Si?s(^~gc-OtAha7lor&J*HERjETBW<$Y7ZA___ zWXFdS>Gv}dw-gBw-b7{@`@Jt#`ZNJ~g=zwoPQ-I%qcgG}@U+#EQlJ^TYk}sS`cONr z$Vg^HNF%g6!By^3QTAaH^qx=Rot30WP%0w zph&^vYAd~P?Ti{#=C%BYmv^#kx>DADhy)&GSb9xhj>JlAHORD%$;TBtg&2ED2$f{2 zH)&cTK@6nHS}A;O-*wMz%c{5AaFb(W$|Q36$>uv3!s9!NqRDT-WI(ZDD?Me_v(VHDHX-jx3aQBxOa3hfHa+&siPWa`7eYH>P5vANh5G)sR!qu zsbgdn8GaEofuz!2Cn%24m0GyQ;71sl8$MIhgp}LGV zVM;^DML+3QEi&HE%wXT32|q$si2QLAbe#l|H97RYg)Avss(1q@#LmOz1FH}@Q3*T)Cmd11qqNNOkzu@f${*QV%72r?K zN5?iZ%X%crxhh*ln=aH%Khv>vxS5l@AtpU$e`bllPZ8k2RJk&~_kHyyeY-I{?0)GV zctX(b-;5_tE{|@`{=yT84aKt`Ngc~mBNLASaWUTeTkAv_5NrJ*4E1za7dxTGwKy7I zeh$s7ATfs>r~}4{x(yY7UyZ%Eh=MbgBln*qRwI(p-t6AyMUT}@JrqEkrKH_4M13?7|i_17>nYKQVSP`}62 z;^3Z<%@JJ654`UxzNkP9B=iebBm}VA=4&w_Z|R-NEdHv3{WrGiExb}P5BgRpw=Oh{ z5QkoQ=sAz;jq(KBI7Y^Ty!m|xK=KBl6cXLj8A`;{Xan7FcX}Tf_~Zl(FZ3{w-2H)h z+J@fERe=U8%Ee}lijlu$z*C0-N5$u3UrL9X9d_zV?gl!Zwn?vWRjAJtQTwn)$@yF| zq{4sm9#?#EYxQe~@n~r^Hrlmz$IjKEK5w4f)Ikwd1YBeMsYMDGkgDP-sr==gx126r z{FBFaSsYwM6ST3a8w*#DyKr8V-xJq1K*3nrZ0Tt_bM zN+zuV$%89V?WD)?8tTuQJ7=#V3Ezu|<7(K-HwnMGW6(qW+o@YQA?9iaU;o*&6^erH zcHrY`hL5z3swUDu?bk97i2pd0asL!73qvk`rX9mIy=zc^B2(;f?q$edNBRF^B7Xhm zhj?$PzqvE@uqT{fdVJv-WG+o6{Wi@y01mq_dwpQ zTn8lW(M=W$FKwa6q=lkOEpMIkI4zN%l}@7t5@pG_Z4v40QP@)~BfJ{~<;%>P)RBAv z>fstIXF=Z*F?y85MieUMJ-_2jZDGTx8l-#6dh_X6gml4Z3bWq!vNt^xxctcm#8YX? zovtGOiHp#G`T2Fe*Euf=3Ug$71<-tKz}gzY`jAt)(STpQKn`=F{3ZIkj5^tzw^J+j zQ=#|Oe~yBBFt&jC*h!#}+YWUK*Fumt={l|-1Lonw4BGvD#nJkmAQ$}FV`5b*;fQas zKceN~Jh}S#YJBmsHTP7Ia2J~zWmB4Q*V+>1s7o&a;CP0wm_|I!1&MhYf0#9W{j6No zdej>)zYeel?O6eGa9erfx0FpuuBK)Y&*vim4`TSUhcmvl+4vAjt=+i_K{gP(5;3nO z$7NQpYv_cWPf6a>lT*H=iUw9m>1Qiit5<=`IXUEh0XcZqBS;fGskUP%d+N8{ot&M6 zEW0f2udn&EORh+CACQel|NKv+qzm(Ps7w>ktE+Xh(aeP?6%Ss&a&XgE8&RN7J#HV= zIEJV7Yu@*u^QMHSp^`EREkiA7zhx@s$l=~t(?YI#0;=(!#6k)B=z(@f@O-v<({ z*0n|FxcP_!u~LH$u)(7Xi$TXv+PVgpxlHb+eaGtOseQh#6DA{m(^ddv_1J~B)L<9 zkG~^?p5b=|Tpn5u*ySKUw)n-FsXV_$nlnp=E%Q~0^6B=q)cNgE z28Y2DgwF~q@Za7P*0D^>=`xXi;E8iq`2>6!DLd=z!b2z908Nokx)`>!G_>;9e>pa! zn&c&(Sius4*H-c~qxX#tJuQigsl5%4U=_WV<4&7`tPH(PR$YT$xKf`3?VdNT=DccB zLr>viW5(u2AQI2*+&~kzu3|=pQXz}r*>Vpp?RSfwzArMHa|#V_GL~=p*dBwE;@*Bn z_3zA%b{q60u1Q3d$R|V%_8kPUZ9LwEquFLHA)i~lsLEW)?!<(viz^y(@%twR!bK|! z1E-R=s>&G<;<*q$oMu1126Bv^I#QMyK`#-gia_yx@_77BVvf^wqk86&Ae!Yd0CZ^- zY?-B@KU0e_G&GpIJo|bpObK$1v53`ipn;iYhNx=bi zpXr9jb<0t-rY3l6P}jc6B#u!#yFX_cL;VY_nj=G!>Y-CDqDeAnWyB=b_-ODwL7ewH_`eRuV2QZe3bp+v$2g&4L0(2is*pj$I>ywe`g;57y8cPKv zCE<6#9c;I_82iW`W38@i6%DuOcT%W_?{a)+S!KG)AO()4fH&LJUi4 zMn+0An^?n_{#!7UN7S8J!ez3aQr52y@Vjk5LMP(vy!W=HUKeR_6fN)@Svg=nI4~`H z+T9}~efg?PO4*IPj`h{dJWH-RE5d*zLA^GH(dX%M7e^C1v~=4zzAX zDu^I4^8rpuf=yd&k(KCz>t(jAqQa!Sm0j#UI zBNnf1b&PvwBg54RIAhibfu~;Pf8w5!zu^~qgaf(-Or-(RQdDdhOuJ)5oTyICucz*{ z7>}cpP5C za0o#>#d=ldqWXtutzI7;gQa`pe-jIM@TWksBkn{UBS_(AdTRs1DSSWDrwtZqDG|k(7Kr^ zfe%}8J-~nVV+eXhfJZ^B#_Sf3F7y~x?!FqhpQ0i)t=0~+!Iw-VB*-1IjP4(`OkJoV zljB$n_x(C;-g^`*RM;RpCMn@77Ets?z@!t~mD|_wEx3G%g3LTJZ+b`d$Ty>`%8zk9 zlo`&($c%6FQ%mshVJD5f;l&7f(_eUO*<+|9c^x7y2yqgTBjm5cKgBKBa0?0h7@}xw zoUAW!qoB8bP(RMpZ^RD2W1^hFI9lrSX7=H+l!{w%RLLPHAzHBhW*O6Z2pFHt6$YxV z*jOJbs!fC@SfyBLTCbQY;NhIN>Wq&qt0tkjmI#OqnY@&xU#%OmeXaj98BIg~M)6dN zg1*D>0nqT+j1r~o(fBmDOYvlqj7gewF6_%ag1tg3C!4o6zMxVt0FB23D@koT=fkwv zvVsiN%qicAbP?K`V+B4kH5#Ay0F@}bMQGruf*7^$Ng0ylg~aI~?|Fj({JXbGDK(cS z4FxN_UYCrz)-Nc-=S6{9lBG1{+a7mUa&rCoL|`4WWV3TbW4!5wBafbBu6lTdp3ZK~ zhS}8Rw^Kfe7e#1?W)%~@52>@;A6ERyHdN)dp3Gc-&sUH5l9hpvc}TlV6~*mIeFM`7 z>woZNNP{o;1M4_^0)OIQK2byaxI3hD;K1>K`s_UH#HcF6P7CJ-j7sR0X?ipMQkX;2 zJpX8+3%SyrD;fz5=j(JkmzH?@zMZFkEDH1d;5-C^8P*--?`(QY~~ z!>-{bVu_stc==0KYIP5tiYaiO_y=A*vwJmPOYO0a<+8hvfGxe8m|R^irK1;x>($Z^ zTK+AbZ2HobjV<7f$E`jU+Fv=r9n2<kp36ubey<69K*;`? lDg0A7{YO6W@4q|f7JJDE#jFRhz8L@?3bLv)mCsEA{sXyA(bWI| literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/img/zad_20_sterna_2019-2020.png b/img/zad_20_sterna_2019-2020.png new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e18975829f6054f632cb6c943155092752c1824 GIT binary patch literal 685 zcmeAS@N?(olHy`uVBq!ia0vp^eL%dBgAGUuvbVnmQjEnx?oJHr&dIz4a#+$GeH|GX zHuiJ>Nn{1`ISV`@iy0XB4ude`@%$Aj3=B+8o-U3d6>)FxY|OjuAmZw1wD#Zs;85eK zT>^TO9zTs%n5UV`EN;ZNVd}lg*z2VS?5)svu%6*E#80s z{mjx3ka!^(*@&E~ z;@k6#)kWrM3He`5x;*>#w>!rpv#W})|GyIKN~W<;_gGkMxbfxLHrwxo8aAOS^Hv>Q zX1@LH-zf$2_Q@946i$Br^6cDdpta;U9PZ;M$7{-KPGQ(mduZmKwMPFG+3oIsJepop z^?9H9!CIMpt|W#J+!}De7M3Jze0esv`rYGzid7yqq20dudADzip8N84#`5odytBXW z<$U+}gDy!ifNFyv-^p$7`}}9zvo_1gyIm~bekj=WlXUQcq?d~x?QsGoF$PapKbLh* G2~7aYWD<7( literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/pytania.txt b/pytania.txt new file mode 100644 index 0000000..b0b351e --- /dev/null +++ b/pytania.txt @@ -0,0 +1,893 @@ +//Sterna 2024/2025 B +Zaznacz zdania prawdziwe +- Uporządkowany podział zbioru, to podział zbioru na podzbiory, taki że elementy w tych podzbiorach są uporządkowane rosnąco. +-| Jeśli rodzina zbiorów $\{A_1, A_2, ..., A_k\}$ jest podziałem zbioru $S$, to $S = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k$. +- Liczba podziałów zbioru $S$ może być zapisana za pomocą współczynnika wielomianowego. +- Podziałem zbioru nazywamy każdą rodzinę pewnych niepustych rozłącznych podzbiorów zbudowanych z pewnych elementów tego zbioru. +- Wszystkie podziały pewnego zbioru $n$-elementowego można wygenerować za pomocą generacji wszystkich liczb binarnych z zakresu od $0$ do $2^n-1$. + +Obiekty kombinatoryczne $B, A, C$ i $C, A, B$ utworzone ze zbioru $\{A, B, C, D\}$ i są identyczne (nie można ich odróżnić). Podane obiekty mogą być przykładem: +- podziału zbioru na dwa podzbiory. +- 3-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego. +- 3-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego. +-| 3-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego. +- 3-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +-Każde rozmieszczenie $k$ rozróżnialnych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach odpowiada $k$-wyrazowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +-$k$-wyrazową wariacją bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru nazywamy każdy ciąg elementów pochodzących z tego zbioru, a liczba takich wariacji wynosi $n^k$. +-|Każde liniowe uporządkowanie $k$ rozróżnialnych elementów ze zbioru $n$-elementowego jest $k$-wyrazową wariacją bez powtórzeń z tego zbioru. +-$k$-wyrazową wariacją bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru i liczba takich wariacji wynosi $\frac{n!}{(n-k)!}$, gdzie $k < n$ lub $k \geq n$. +-$k$-wyrazową wariacją bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru. + +Każdy sposób wrzucenia 4 identycznych elementów do 5 rozróżnialnych pudełek jest przykładem: +- 5-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego. +- 4-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego. +-| 4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego. +- 5-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego. +- 4-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego. + + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +- Zasada dobrego uporządkowania stwierdza, że zbiór liczb całkowitych zawiera element najmniejszy. +-|Dowód poprawności pierwszej zasady indukcji matematycznej opiera się o zasadę dobrego uporządkowania i wykorzystuje technikę sprowadzania do sprzeczności. +- Zbiorem dobrze uporządkowanym jest dowolny podzbiór zbioru liczb całkowitych oraz liczb wymiernych, ale nie liczb rzeczywistych. +- Jeśli dla każdej pary elementów $a$ i $b$ można odpowiedzieć na pytanie czy $a \leq b$, to zbiór $S$ jest dobrze uporządkowany. +- Zbiór liczb całkowitych ujemnych jest dobrze uporządkowany. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +- Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(n_0) \land S(n_0+1) \land ... \land S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$. +- Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga pokazania, że dla pewnej konkretnej wartości $k \geq n_0$ zachodzi implikacja $[S(n_0) \land ... \land S(k)] \Rightarrow S(k+1)$. +-| W zasadzie silnej indukcji matematycznej warunek początkowy ma postać $S(n_0) \land S(n_0+1) \land ... \land S(n_1)$, gdzie $n_0, n_1 \in \mathbb{Z}^+$ i $n_0 \leq n_1$, a $S(n)$ oznacza zdanie otwarte, w którym występuje liczba całkowita dodatnia $n$. +- Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla każdej liczby $k \geq n_0$. +- Dowód warunku początkowego w drugiej zasadzie indukcji matematycznej wymaga pokazania prawdziwości pewnych zdań $S(n)$ dla dowolnych elementów $n$, takich że $n_0 \leq n \leq n_1$. + +Zasada indukcji matematycznej jest techniką, która może być zastosowana do dowodzenia twierdzeń $S(n)$: +- dotyczących kolejnych liczb rzeczywistych. +- dotyczących dowolnych liczb dodatnich. +- dotyczących liczb wymiernych. +-| w których $n$ należy do zbioru liczb całkowitych dodatnich. +- w których $n$ jest nieujemne. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +-| Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + c_{n-2} a_{n-2} + c_{n-3} a_{n-3} = 0$, gdzie $c_n, c_{n-1}, c_{n-2}, c_{n-3}$ są pewnymi stałymi, $c_n \neq 0$ i $c_{n-3} \neq 0$, jest liniową zależnością rekurencyjną jednorodną rzędu trzeciego i może być rozwiązana za pomocą równania charakterystycznego stopnia trzeciego. +- Rozwiązanie liniowej niejednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami, postaci $a_{n+1} + c a_n = f(n)$ jest dane wzorem: $a_n = a_0 d^n$ gdzie $d_0$ i $d$ oznaczają pewne stałe, $n \in \mathbb{N}$. +- Rozwiązanie liniowej niejednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami, ma postać $ a_n = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n$ lub $a_n = c_1 r_1^n + c_2 n r^n$ w zależności od liczby różnych pierwiastków równania charakterystycznego. +- Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o dwóch różnych pierwiastkach, ma postać $a_n = c_1 x_1^n + c_2 x_2^n$ gdzie $x_1$ i $x_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu. +- Wyznaczenie wzoru jawnego jest możliwe dla ciągów liczbowych opisanych jedynie zależnościami rekurencyjnymi jednorodnymi. + +Zależność rekurencyjna $(a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_3 = 6, 2a_{n+1} + 3a_{n-3} = 0 \text{ dla } n \geq 3)$ jest zależnością rekurencyjną: + +-| liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego jednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego jednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu pierwszego niejednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego niejednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu trzeciego jednorodną. + +Zależność rekurencyjna $(a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3, a_n + 5a_{n-1} - 4a_{n-3} = 0 \text{ dla } n \geq 3)$ jest zależnością: +- która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego. +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym. +-| dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego. +- nieliniową. +- niejednorodną. + +Zaznacz zdanie prawdziwe: +- Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$-niepustych podzbiorów są nie mniejsze niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ cyklach. +- Z definicji przyjmuje się, że liczba Stirlinga drugiego rodzaju $S(n,n) = 1$ dla $n \geq 0$, ponieważ opisywany przez nią podział jest niemożliwy. +- Liczby harmoniczne $H_n$ są dyskretnym odpowiednikiem funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$ i tworzą ciąg liczbowy rosnący logarytmicznie wolno dla $n \to \infty$. +-| Liczby Eulera pierwszego rzędu $\left\langle \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\rangle$ oznaczają liczbę $n$-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego zawierających $k$ wzniesień. +- Twierdzenie Zeckendorfa stwierdza, iż każda liczba całkowita dodatnia $n$ może być jednoznacznie przedstawiona w postaci iloczynu pewnych liczb Fibonacciego i zapisana w postaci odpowiedniego ciągu zer i jedynek. + +Zaznacz zdanie prawdziwe: +- Liczby Fibonacciego są przykładem zależności rekurencyjnej rzędu drugiego niejednorodnej. +- Ciąg liczb harmonicznych jest zbudowany z liczb całkowitych. +-| Za pomocą liczb Stirlinga pierwszego rodzaju $s(n, k)$, $k = 0, 1, \dots, n$, można obliczyć wartość funkcji $n!$. +- Liczby Eulera związane są z liczbą $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego. +- Liczby Stirlinga drugiego rodzaju związane są ze zliczaniem $k$-elementowych permutacji ze zbioru $n$-elementowego. + +Zaznacz zdanie prawdziwe: + +- Zasada włączania i wyłączania ma postać: $\left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| + \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \dots + (-1)^{n-1} |A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n|$ +-| Zasada włączania i wyłączania, mówi, że aby wyznaczyć liczbę elementów zbioru $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, należy zanalizować wszystkie możliwe przecięcia (części wspólne) zbiorów z rodziny $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ i dodać liczność przecięć nieparzystej liczby zbiorów oraz odjąć liczność przecięć parzystej liczby zbiorów. +- Zasada włączania i wyłączania, mówi, że aby wyznaczyć liczbę elementów zbioru $A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n$, należy zanalizować wszystkie możliwe przecięcia zbiorów z rodziny $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ i dodać liczność przecięć parzystej liczby zbiorów oraz odjąć liczność przecięć nieparzystej liczby zbiorów. +- Zasada włączania i wyłączania jest uogólnieniem prawa sumy umożliwiającym obliczenie liczności części wspólnej zbiorów, bez konieczności wyznaczania elementów należących do tej części wspólnej. +- Prawo sumy (pozwalające na wyznaczenie liczności sumy dwóch zbiorów) nie jest równoważne zasadzie włączania i wyłączania (pozwalającej na wyznaczenie liczności sumy zbiorów $A_1, \dots, A_n$ dla $n=2$. + +Pełna poprawna zasada włączania i wyłączania dla 4 zbiorów składa się z +- 4 składników, ponieważ są 4 zbiory. +-| 15 składników. +- 16 składników, ponieważ należy sprawdzić część wspólną każdego zbioru z każdym. +- 5 składników. +- nieskończonej liczby składników. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +- Zasada szufladkowa Dirichleta stwierdza, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to dokładnie jeden z tych zbiorów zawiera $\lceil |S|/k \rceil$ elementów lub więcej. +- Zasada szufladkowa Dirichleta stwierdza, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to liczność tych wszystkich zbiorów wynosi co najmniej $\lfloor |S|/k \rfloor$. +- Uogólniona zasada szufladkowa sprowadza się do „klasycznej” zasady szufladkowej, gdy każdy z elementów analizowanego zbioru $S$ należy do co najmniej jednego podzbioru spośród $A_1, \dots, A_k$. +-| Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa minimalną wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, \dots, A_k$ będących podzbiorami skończonego zbioru $S$, takimi że każdy element zbioru $S$ należy do co najmniej 1 spośród zbiorów $A_i$ ($1 \leq |S|/k$). +- Dowód uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta wymaga zastosowania zwykłej zasady szufladkowej. + + +Jeśli zbiór 12 elementowy zostanie podzielony w dowolny sposób na 3 niepuste rozłączne podzbiory, to +- dokładnie jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej. +- dokładnie jeden podzbiór zawiera 4 elementy. +- co najwyżej jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej. +-| co najmniej jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej. +- podzbiory są równoliczne. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +- Macierz o wymiarze $p \times p$ zbudowaną z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $p < n$, w której w żadnym wierszu i kolumnie elementy się nie powtarzają nazywamy kwadratem łacińskim. +-| Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ ($p \leq n$, $q < n$) do kwadratu $n \times n$ nie jest możliwe, jeśli dla pewnego elementu $l$ ($1 \leq l \leq n$) liczba jego wystąpień w prostokącie $l(l)$ jest mniejsza od $p + q - n$. +- Rozszerzenie dowolnego prostokąta łacińskiego o dodatkowe kolumny jest zawsze możliwe, należy jedynie w każdej nowej kolumnie umieszczać elementy występujące najrzadziej. +- Rozszerzalny prostokąt łaciński $p \times q$ rozbudowuje się do kwadratu łacińskiego $n \times n$ przez dopisanie najpierw $(n-q)$ wierszy, a następnie $(n-p)$ kolumn. +- Dla $n$ będącego liczbą pierwszą istnieje dokładnie $n-1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$, a dla $n$ będącego potęgą liczby pierwszej co najmniej $n-1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$. + +Zaznacz zdanie prawdziwe: +-Dla dowolnej szachownicy $B$, wartość współczynnika $r_1$ jest równa liczbie zabronionych pól obszaru $B$. +-|Wielomian szachowy dla obszaru $B$ o wymiarze $n \times n$, postaci $r(x) = 1 + r_1 x + r_2 x^2 + \dots + r_n x^n$, nie zawiera niezerowych współczynników $r_k$ dla $k > n$, ponieważ nie można ustawić więcej niż $n$ wzajemnie nieatakujących się wież na szachownicy o wymiarze $n \times n$. +-Każda linia pozioma dzieli dowolną szachownicę $B$ na dwa niezależne obszary, niemające wspólnych wierszy ani kolumn. +-Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C, D$, to wówczas $r(x) = r(C) + x r(D)$. +-W oparciu o wielomian szachowy obszaru $B$ można wyznaczyć wszystkie współczynniki wielomianu szachowego dla dopełnienia tego obszaru $\overline{B}$. + + + +//Sterna 2012 A Sekretna +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +- $k$-wyrazową wariacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru, a liczba takich wariacji wynosi: $\frac{n!}{(n-k)!}$, gdzie $k < n$ lub $k \geq n$. + +- Liczba $k$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami jest równa liczbie $k$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami. + +-| $k$-wyrazowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego odpowiada rozmieszczeniu $k$ rozróżnialnych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach. + +- Liczba $k$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego jest nie większa od liczby $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń. + +- Istnieje $b^b$ różnych $b$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru $a$-elementowego $(a \leq b$ lub $b < a)$. + + +Obiekty kombinatoryczne $D, C, A, B$ i $A, D, C, B$ zostały utworzone ze zbioru $\{A, B, C, D, E\}$ i nie są identyczne (można je odróżnić). Podane obiekty mogą być przykładem: +- 4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego. +- 5-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego. +-| 4-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego. +- Uporządkowanego podziału zbioru na dwa podzbiory. +- 4-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +- Kombinacja $k$-elementowa z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego, to $k$-elementowy podzbiór elementów tego zbioru, w którym kolejność elementów nie jest istotna. + +- Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być przedstawiona jako $k$-elementowa permutacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego. + +-| Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być interpretowana jako rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach. + +- Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być przedstawiona jako permutacja z powtórzeniami dwóch różnych symboli powtarzających się odpowiednio $n$ i $k$ razy. + +- Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego wynosi $\binom{k + n - 1}{n}$ gdzie $k < n$. + + +Do 6 rozróżnialnych pudełek wrzucane są w dowolny sposób 4 rozróżnialne elementy. Każdy sposób wrzucenia elementów do pudełek jest przykładem: + +-| 4-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego. +- 6-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego. +- 4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego. +- 4-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego. +- 6-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +-|Pierwsza zasada indukcji matematycznej może być sformułowana następująco $[S(1) \land (\forall_{k\geq 1} S(k) \Rightarrow S(k+1))] \Rightarrow \forall_{n\geq1} S(n)$, gdzie $S(n)$ oznacza zdanie otwarte, w którym występuje pewna liczba całkowita dodatnia $n$. + +-Pierwsza zasada indukcji może być podana dla dowolnego elementu $n_0$, od którego rozpoczyna się proces indukcyjny i przyjmuje wówczas postać $[S(n_0) \land (S(k) \Rightarrow S(k+1))] \Rightarrow \forall_{n \geq n_{0}} S(n)$. + +-Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$. + +-Dowód warunku początkowego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga pokazania prawdziwości zdania $S(n)$ dla dowolnego elementu $n \geq n_0$. + +-Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla każdej liczby $k \geq n_0$. + +Zasada indukcji matematycznej może być zastosowana do dowodzenia twierdzeń $S(n)$, w którym $n$ należy do zbioru: + +- liczb rzeczywistych dodatnich. +-| liczb naturalnych. +- dowolnego podzbioru zbioru liczb wymiernych. +- liczb całkowitych. +- liczb rzeczywistych. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +-Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o dwóch różnych pierwiastkach $x_1$ i $x_2$ ma postać $a_n = x_1 r_1^n + x_2 r_2^n$. +-|Każda zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + \ldots + c_{n-k} a_{n-k} = 0$, gdzie $c_i$ dla $i = n-k, \ldots, n$ są zupełnie dowolnymi stałymi rzeczywistymi, jest liniową zależnością rekurencyjną rzędu $k$-tego. +-Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_{n+1} + c a_n = 0$ jest dane wzorem $a_n = a_0 b^n$, gdzie $b = -c$, a $c$ oznacza pewną stałą i nie $\in \mathbb{N}$. +-Rozwiązanie zależności rekurencyjnej polega na wyznaczeniu wartości liczbowej elementu ciągu występującego po elementach początkowych. +-Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + c_{n-2} a_{n-2} = 1$, gdzie $c_n, c_{n-1}, c_{n-2}$ są pewnymi stałymi, $c_n \neq 0$ i $c_{n-2} \neq 0$, może być rozwiązana za pomocą metody równania charakterystycznego. + + + +Zależność rekurencyjna $ (a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_3 = 6, 2a_{n} + 3a_{n-4} = 2 $ dla $ n \geq 4 $ jest zależnością rekurencyjną: + +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego jednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu pierwszego niejednorodną. +-| liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego niejednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego jednorodną. +- którą można rozwiązać za pomocą metody równania charakterystycznego. + +Zależność rekurencyjna $ (a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 4, a_{n+1} + 5a_{n-1} - 4a_{n-3} = 0) $ dla $ n \geq 3 $ jest zależnością: + +- która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego. +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym. +- nieliniową. +-| dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia czwartego. +- niejednorodną. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +-|Wyrażenia postaci $x(n, n) = 1, n \geq 0$ oraz $x(n, 0) = 0, n > 0$ są składnikami definicji rekurencyjnej liczb Stirlinga zarówno pierwszego ($x = s$), jak i drugiego rodzaju ($x = S$). + +-Z definicji przyjmuje się, że liczba Stirlinga pierwszego rodzaju $s(n, n) = 1$ dla $n \geq 0$, ponieważ opisywane przez nią rozmieszczenie obiektów w cyklach jest niemożliwe. + +-Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle\left\langle \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\rangle\right\rangle$ oznaczają liczbę dowolnych permutacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego zawierających $k$ wniesień takich, że pomiędzy poszczególnymi wystąpieniami pewnej liczby znajdują się tylko liczby większe od niej. + +-Liczby harmoniczne drugiego rzędu $H_n^{(2)}$ są dyskretnym odpowiednikiem funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$. + +-W oparciu o twierdzenie Zeckendorfa można stworzyć system liczbowy, w którym dowolna liczba rzeczywista dodatnia może być przedstawiona jako $\sum_{k=0}^{m} b_k F_k$, gdzie $b_k \in \{0,1\}$, a $F_k$ oznacza liczbę Fibonacciego. + + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +- Liczby Stirlinga drugiego rodzaju dotyczą podziału zbioru na cykle, a liczby Stirlinga pierwszego rodzaju podziału zbioru na podzbiory. +- Liczby Eulera dotyczą wariacji z powtórzeniami. +-| Cykle jedno- i dwu-elementowe są równoważne zbiorom jedno- i dwu-elementowym. +- Ciąg liczb harmonicznych pierwszego rzędu jest zbieżny. +- Ciąg liczb Fibonacciego jest przykładem zależności rekurencyjnej rzędu trzeciego, ponieważ w zależności rekurencyjnej występują trzy elementy ciągu. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +- Zasada włączania i wyłączania jest uogólnieniem prawa iloczynu dla więcej niż dwóch zbiorów skończonych. + +-| Zasada włączania i wyłączania ma postać: $ \left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| - \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \dots + (-1)^{n-1} |A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n|$ + + +- Zasada włączania i wyłączania umożliwia obliczenie liczności części wspólnej $n$ zbiorów $A_1, A_2, ..., A_n$ w oparciu o liczności sum zbiorów z rodziny $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$. + +- Zasadę włączania i wyłączania stosuje się do obliczenia liczności sumy pewnej liczby zbiorów w sytuacji, gdy nie można wyznaczyć elementów należących do tej sumy. +- Zasadę włączania i wyłączania można zastosować wyłącznie do obliczenia liczności sumy zbiorów, których części wspólne nie są zbiorami pustymi; zasady tej nie można zastosować dla zbiorów rozłącznych. + +Poprawna pełna zasada włączania i wyłączania dla zbioru $N$ elementowego, którego pewne elementy spełniają własności $c_i, (i = 1,2,3)$ ma postać: +- $N(c_1 \vee c_2 \vee c_3) = N(c_1) + N(c_2) + N(c_3)$ +- $N(c_1 c_2 c_3) = N(c_1) + N(c_3) - N(c_1 c_3)$ +- $N(\overline{c_1} \overline{c_2} \overline{c_3}) = N(c_1) + N(c_2) + N(c_3) - N(c_1 c_2) - N(c_1 c_3) - N(c_2 c_3) + N(c_1 c_2 c_3)$ +-| $N(\overline{c_1} \overline{c_2} \overline{c_3}) = N - N(c_1) - N(c_2) - N(c_3) + N(c_1 c_2) + N(c_1 c_3) + N(c_2 c_3) - N(c_1 c_2 c_3)$ +- $N(c_1 c_2 c_3) = N - N(c_1) - N(c_2) - N(c_3) + N(c_1 c_2) + N(c_1 c_3) + N(c_2 c_3)$ + +Zaznacz zdanie prawdziwe: +- Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to co najwyżej jeden z tych podzbiorów zawiera $\lceil \frac{|S|}{k} \rceil$ elementów lub więcej. +- Zasada szufladkowa Dirichleta wynika z obserwacji, że jeśli $m$ przedmiotów umieszcza się w zupełnie dowolny sposób w $n$ szufladkach i $m > n$, to żadna szufladka nie będzie pusta. +- „Klasyczna” zasada szufladkowa dotyczy podziału zbioru $S$ na dwa zbiory, a uogólniona zasada szufladkowa dotyczy podziału na dowolną liczbę zbiorów. +-| Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ podzbiorów $A_1, A_2, ..., A_k$, takich że każdy element $S$ należy do co najmniej $p$ spośród tych podzbiorów, to średnia liczność zbiorów $A_i$ wynosi co najmniej $\frac{p |S|}{k}$. +- Z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ podzbiorów $A_1, A_2, ..., A_k$, takich że każdy element $S$ należy do dokładnie $t$ spośród tych podzbiorów, to średnia liczność zbiorów $A_i$ wynosi dokładnie $\frac{k |S|}{t}$. + +Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4$ będących podzbiorami zbioru 8-elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do co najmniej 3 podzbiorów wynosi: +- co najwyżej 6. +- dokładnie 6. +- co najwyżej 3. +- co najmniej 8. +-| co najmniej 6. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +-| Macierz o wymiarze $p \times p$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, ..., n\}$, gdzie $p < n$, w której w żadnym wierszu i kolumnie elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim. +- Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest możliwe tylko wówczas, jeśli liczba wystąpień poszczególnych elementów spełnia warunek $l(i) > p + q - n$ dla każdego $i = 1, ..., n$. +- Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest zawsze możliwe i wymaga wyznaczenia transwersali rodziny zbiorów zawierających elementy nie występujące dotychczas odpowiednio w poszczególnych wierszach i kolumnach. +- Prostokąt łaciński $p \times q$ rozbudowuje się do kwadratu łacińskiego $n \times n$ przez dopisanie najpierw $(n - p)$ wierszy zbudowanych z dowolnej transwersali, a następnie $(n - q)$ kolumn zbudowanych ze specyficznej transwersali zawierającej zbiór $P$. +- Dla $n$ będącego liczbą pierwszą lub potęgą liczby pierwszej istnieje co najwyżej $n - 1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$, a dla pozostałych wartości $n$ istnieje dokładnie $n - 1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$. + +Zaznacz obiekt nie będący prostokątem łacińskim ze zbioru $\{1,\ldots,6\}$: +- $[1, 2, 3, 4, 5, 6]$ +- $\begin{bmatrix}2 & 1 \\3 & 4 \\5 & 6 \\1 & 2 \\6 & 3 \\4 & 5\end{bmatrix}$ +-$\begin{bmatrix}3 & 1 & 2 \\2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 6\end{bmatrix}$ +-|$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 6 \\4 & 3 & 2 & 1 & 6 & 5 \\3 & 6 & 5 & 1 & 3 & 4\end{bmatrix}$ +-|$\begin{bmatrix}6 & 5 & 4 & 3 \\3 & 1 & 5 & 1 \\1 & 3 & 2 & 6 \\2 & 3 & 5 & 1\end{bmatrix}$ + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +-| Wielomian szachowy $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$, to funkcja tworząca, której współczynniki $r_k$ oznaczają liczbę możliwych rozmieszczeń $k$ wzajemnie nie atakujących się wież na szachownicy $B$ o wymiarze $n \times n$. +- W wielomianie szachowym dla dowolnej szachownicy o wymiarze $n \times n$ mogą wystąpić niezerowe współczynniki $r_k$ dla $k > n$. +- Każdą szachownicę $B$ można zdekomponować na dwie inne szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ zabroniona jest kolumna, a w $B^2$ wiersz, zawierające pewne dowolnie wybrane pole $s$. +- Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $B^1$ i $B^2$, to wówczas $r_B(x)$ jest sumą wielomianów szachowych obszarów $B^1$ i $B^2$. +- Dekompzycję wielomianów stosuje się jedynie wówczas, gdy nie wyznacza się pełnego wielomianu szachowego pewnego obszaru o wymiarze $n \times n$, ale oblicza się jedynie pojedynczy współczynnik tego wielomianu $r_k$ dla $k < n$. + +Zaznacz funkcję tworzącą, która może być wielomianem szachowym pewnej szachownicy o wymiarze 5×5: + +-| $r_B(x) = 1 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$ +- $r_B(x) = 0 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$ +- $r_B(x) = 1 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^6$ +- $r_B(x) = 2 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$ +- $r_B(x) = 1 + 27x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$ + +//Formanowicz 2024-2025 +Niech $A, B$ i $C$ będą podzbiorami pewnej przestrzeni $U$. Wśród poniższych zdań wskaż prawa algebry zbiorów. + +-$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ + +-|$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$ + +-|$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ + +-$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ + +-$\overline{A \cup B} = \overline{A \cap B}$ + + +Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. + +- Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +- Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i przeciwzwrotną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +- Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +- Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +- Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania będące definicjami odpowiednich obiektów: +-|Słowem danego alfabetu $\Sigma$ jest dowolny skończony ciąg liter zbioru $\Sigma$. +-|Jeżeli przez $\Sigma^*$ oznaczymy zbiór wszystkich słów zbudowanych z liter alfabetu $\Sigma$, to dowolny podzbiór zbioru $\Sigma^*$ jest językiem nad alfabetem $\Sigma$. +-Językiem nad alfabetem $\Sigma$ jest zbiór potęgowy zbioru $\Sigma$. +-Słowem danego alfabetu $\Sigma$ jest dowolny skończony ciąg liter zbioru $\Sigma$, który zawiera co najwyżej jedno wystąpienie każdego z elementów zbioru $\Sigma$. +-Jeżeli przez $\Sigma^*$ oznaczymy zbiór wszystkich słów zbudowanych z liter alfabetu $\Sigma$, to językiem nad alfabetem $\Sigma$ jest $\Sigma^* \times \Sigma^*$. + +Niech $G=(V,E)$ będzie dowolnym grafem i niech $X,Y \subseteq V$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +-| Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest maksymalnej liczbie rozłącznych ścieżek z $X$ do $Y$. +- Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest minimalnej liczbie rozłącznych ścieżek z $X$ do $Y$. +- Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest liczności zbioru $X$. +- Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest liczności zbioru $Y$. +- Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest $\min{|X|, |Y|}$. + + + + + +//Sterna 2019-2020 +Obiekty $|A, C, D, E|$ i $|B, E, F, F|$ utworzono ze zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$. Kolejność tych obiektów oraz uporządkowanie ich elementów nie są istotne. Obiekty te są przykładem: +- podziału uporządkowanego zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$ ponieważ elementy w obiektach są ustawione alfabetycznie. +- podziału zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$ na dwa podzbiory. +- dwóch 4-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego. +- dwóch 4-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego. +-| dwóch 4-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Wszystkie $k$-elementowe kombinacje bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru, dla $k=0, \ldots, n$, mogą być wygenerowane za pomocą generacji ze wszystkich liczb binarnych z zakresu od $1$ do $2^n$. +- Każde rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach odpowiada $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +-| Z każdej $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego można utworzyć $k!$ różnych $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +- Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru wynosi $\binom{n}{k}$ gdzie $n \leq k$ lub $k < n$ +- Każda $k$-elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewnemu podziałowi tego zbioru na $k$ podzbiorów. + +Do 7 rozróżnialnych pudełek można wrzucić (w dowolny sposób) 4 identyczne elementy na +- $\binom{7}{4}$ sposobów. +- $7^4$ sposobów. +-| $\binom{7+4-1}{4}$ sposobów. +- $4^7$ sposobów. +- $\frac{7!}{(7-4)!}$ sposobów. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- $k$-wyrazową permutacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru. +- Permutacja z powtórzeniami może być interpretowana jako dowolne rozmieszczenie $n$ rozróżnialnych obiektów w $k$ rozróżnialnych pudełkach. +- $k$-wyrazowe permutacje z powtórzeniami są równoważne $k$-wyrazowym wariacjom z powtórzeniami. +-| Liczba $k$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami jest nie większa niż liczba $k$-wyrazowych permutacji bez powtórzeń. +- W $n$-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru $\{a_1, \dots, a_n\}$, w której element $a_i$ powtarza się $n_i$ razy, dla $i = 1, \dots, k$, zachodzi: $\sum_{i=1}^{k}{n_i=n!}$. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_{n+1} + ca_n = 0$ jest dane wzorem $a_n = ca_0^n$, gdzie $c$ oznacza pewną stałą i $n \in \mathbb{N}$. +- Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o jednym pierwiastku podwójnym ma postać $a_n = c_1 r^n + c_2 n r^n$, gdzie wartości stałych $c_1$ i $c_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu. +-| Rozwiązanie problemu wież z Hanoi, $T_n = 2T_{n-1} + 1, n > 0, T_0 = 0$, jest przykładem niejednorodnej liniowej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami. +- Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + \dots + c_k a_k = 0$, gdzie $c_i$ dla $i = n, \dots, k$ są pewnymi stałymi rzeczywistymi, $c_n \neq 0$ i $c_k \neq 0$ nazywamy liniową jednorodną zależnością rekurencyjną rzędu k-tego ze stałymi współczynnikami. +- Każdy pierwiastek pojedynczy $r$ równania charakterystycznego wprowadza do rozwiązania liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej ze stałymi współczynnikami rzędu $k \geq 2$ czynnik $rc^n$, gdzie $c$ jest pewną stałą, którą można wyznaczyć w oparciu o początkowe wyrazy ciągu. + +Zależność rekurencyjna $\{a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_{n+1}+3a_{n-2} = 3n \text{ dla } n \geq 2\}$ jest zależnością rekurencyjną liniową ze stałymi współczynnikami: +- rzędu drugiego jednorodną, +- rzędu drugiego niejednorodną, +- rzędu trzeciego jednorodną, +-| rzędu trzeciego niejednorodną, +- rzędu $(n+1)$-szego jednorodną. + +Zależność rekurencyjna $\{a_0 = 1, a_1 = 2, na_n = 3a_{n-1}\cdot a_{n-2}=0 \text{ dla } n \geq 2\}$ jest zależnością: +- niejednorodną, +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym, +- o stałych współczynnikach, +-| która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego, +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla pewnego $n_0 \in \mathbb{Z}^{+}$ ma postać: $[S(n_0) \land [\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k+1)]]] \implies \forall_{n \geq 1} S(n)$. +- Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego, dowolnego ze zdań poprzedzających. +-| Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$ ma postać: $[(\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k + 1)]) \land S(1)] \implies \forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$. +- Zasada indukcji matematycznej może być wykorzystana do dowodzenia twierdzeń dotyczących dowolnych liczb dodatnich. +- Jeśli pewne twierdzenie $\forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \geq 1$, to może ono być udowodnione z wykorzystaniem drugiej zasady indukcji matematycznej. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Pierwsza i druga zasada indukcji matematycznej są sobie równoważne tylko dla pewnego rodzaju twierdzeń. +- Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$. +- Dowód pierwszej zasady indukcji matematycznej nie dowodzi poprawności drugiej zasady indukcji matematycznej, ponieważ jest ona inaczej sformułowana. +- Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego ze zdań poprzedzających. +-| Drugą zasadę indukcji matematycznej można zastosować do dowodzenia twierdzeń dotyczących liczb całkowitych dodatnich, w których prawdziwość zdania $S(n)$ dla $n=k+1$ wynika z prawdziwości kilku zdań poprzedzających. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Definicja rekurencyjna liczb Stirlinga drugiego rodzaju zawiera zależność postaci: $S(n, k) = S(n-1, k) + k S(n-1, k-1)$, a definicja rekurencyjna liczb Stirlinga pierwszego rodzaju: $s(n, k) = s(n-1, k) + (n-1) s(n-1, k-1)$ (gdzie $n > k > 0$). +-| Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$ niepustych rozłącznych podzbiorów są nie większe niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ cyklach. +- Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle \left\langle \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\rangle \right\rangle$ oznaczają liczbę permutacji z powtórzeniami multizbioru $\{1, 1, 2, 2, \dots, k, k\}$ zawierających $n$ wniesień. +- Liczby harmoniczne pierwszego rzędu tworzą ciąg zbieżny do pewnej granicy, ponieważ zgodnie z definicją rekurencyjną każda kolejna liczba $H_{n+1}$ powstaje z poprzedniej liczby $H_{n}$ przez dodanie ułamka $\frac{1}{(n+1)}$. +- W systemie liczbowym Fibonacciego, zbudowanym w oparciu o twierdzenie Zeckendorfa, do jednoznacznej reprezentacji liczb całkowitych dodatnich wykorzystuje się wszystkie liczby Fibonacciego $F_k$, dla $k \geq 0$. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- W ciągu liczby Stirlinga drugiego rodzaju mogą pojawić się liczby nie będące liczbami całkowitymi. +-| Każdej $n$-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewien układ cykli i każdemu układowi cykli odpowiada pewna $n$-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +- Liczby harmoniczne rzędu $r$, dla $r > 1$, tworzą ciąg rozbieżny. +- Liczby Fibonacciego są liczbami opisanymi zależnością rekurencyjną rzędu trzeciego, ponieważ w definicji występują trzy elementy ciągu. +- Liczby Eulera związane są z liczbą cykli Eulera w grafie. + +Pełna poprawna zasada włączania i wyłączania dla 4 zbiorów jest formułą składającą się z: +- 4 składników, ponieważ są 4 zbiory. +- 16 składników, ponieważ należy sprawdzić część wspólną każdego zbioru z każdym. +-| 15 składników. +- 8 składników. +- nieznanej liczby składników, ponieważ ich liczba zależy od liczności tych zbiorów. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Zasada włączania i wyłączania mówi, że liczba elementów pewnego zbioru $S$, $|S| = N$, które nie spełniają żadnego z warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, jest równa $N = N - N(c_1) - N(c_2) - ... - N(c_t)$, gdzie $N(c_i)$ oznacza liczbę elementów $S$ spełniających warunek $c_i$. +- Zasada włączania i wyłączania w postaci alternatywnej dotyczy pewnego zbioru $S$, dla którego zdefiniowane są warunki $c_i$, $1 \leq i \leq t$, które muszą być spełnione przez wszystkie elementy zbioru $S$. +-| Dla zbioru $S$ i warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, spełnionych przez pewne elementy ze zbioru $S$, liczba elementów, które nie spełniają żadnego z tych warunków wynosi: $N(\overline{c_1} \overline{c_2} ... \overline{c_t}) = |S| - \sum_{1 \leq i \leq t} N(c_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq t} N(c_i c_j) - \sum_{1 \leq i < j < k \leq t} N(c_i c_j c_k) + \dots + (-1)^t N(c_1 c_2 ... c_t)$. +- Symbol $N(c_i c_j)$ występujący w zasadzie włączania i wyłączania oznacza liczbę elementów ze zbioru $S$ spełniających warunki $c_i$ i $c_j$ i równocześnie nie spełniających pozostałych warunków $c_k$, $(1 \leq i, j, k \leq t, k \neq i, k \neq j)$. +- Dowód zasady włączania i wyłączania w postaci alternatywnej jest oparty o prawa teorii mnogości. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to każdy z tych podzbiorów zawiera $\lceil |S| / k \rceil$ elementów lub więcej. +- Dowód zasady szufladkowej Dirichleta wykorzystuje pojęcie uporządkowanego podziału zbioru. +- „Klasyczna” zasada szufladkowa Dirichleta w żaden sposób nie wynika z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta, ponieważ dotyczy zbiorów o odmiennych własnościach. +-| Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to średnia liczność tych zbiorów wynosi $\frac{|S|}{k}$. +- Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, ..., A_k$ będących rozłącznymi podzbiorami pewnego skończonego zbioru $S$. + +Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ będących podzbiorami zbioru 18-elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do dokładnie 3 podzbiorów wynosi: +- nie może być określona. +-| dokładnie 9. +- co najwyżej 9. +- co najmniej 9. +- dokładnie 3. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +-| Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $n \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest zawsze możliwe i wymaga wyznaczenia transwersali rodziny zbiorów zawierających elementy nie występujące dotychczas w poszczególnych wierszach. +- Każda macierz o wymiarze $p \times q$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $\min(p, q) < n$, w której w żadnym wierszu elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim. +- Rozszerzenie dowolnego prostokąta łacińskiego o dodatkowe kolumny jest zawsze możliwe, należy jedynie w każdej nowej kolumnie umieszczać elementy występujące najrzadziej. +- Pewne prostokąty łacińskie $p \times n$, w których liczba wystąpień niektórych elementów jest zbyt mała, nie mogą być rozszerzone do kwadratu łacińskiego $n \times n$. +- Kwadratem grecko-łacińskim, czyli kwadratem Eulera, nazywamy złożenie dwóch dowolnych kwadratów łacińskich o takim samym rozmiarze. + +Dany jest poniższy prostokąt łaciński $L$ ze zbioru $\{1,6\}$. Zaznacz kolumnę, której $\textbf{nie można}$ dopisać do tego prostokąta, jeśli ma być nadal rozszerzalny do kwadratu łacińskiego $6 \times 6$: $L =\begin{pmatrix}2 & 3 & 4 & 6 \\4 & 5 & 3 & 1 \\3 & 4 & 6 & 2 \\5 & 6 & 1 & 4\end{pmatrix}$ +- $\begin{matrix}5 \\2 \\1 \\3\end{matrix}$ +- $\begin{matrix}1 \\2 \\5 \\3\end{matrix}$ +-| $\begin{matrix}5 \\6 \\1 \\3\end{matrix}$ +- $\begin{matrix}5 \\6 \\1 \\2\end{matrix}$ +- $\begin{matrix}1 \\6 \\5 \\2\end{matrix}$ + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Wielomian szachowy $r_f(x) = 1 + r_1 x + r_2 x^2 + ... + r_k x^k + ... + r_n x^n$ to funkcja, której wartość oznacza liczbę możliwych rozmieszczeń $x$ wzajemnie atakujących się wież na szachownicy o wymiarze $n \times n$. +- Szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C$ i $D$, to wówczas $r_f(x) = r_C(x) + x r_D(x)$. +- Dekompzycja wielomianów szachowych jest możliwa tylko i wyłącznie wówczas, jeśli daną szachownicę można podzielić na dwa rozłączne obszary nie mające wspólnych wierszy ani kolumn. +-| W dowolnym wielomianie szachowym dla szachownicy o wymiarze $n \times n$ wszystkie współczynniki $r_k$ stojące przy $x^k$ dla $k > n$ przyjmują wartość zerową. +- Szachownicę $B$ można zdekomponować, poprzez wybór pewnego pola dopuszczalnego $s$, na dwie szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ niedostępny jest wiersz, a w $B^2$ niedostępna jest kolumna zawierająca pole $s$. + +Zaznacz funkcję tworzącą, która $\textbf{może być}$ wielomianem szachowym $\textbf{dopełnienia}$ podanej szachownicy $B$: +- $r_B(x) = 1 + 15x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$ +-| $r_B(x) = 1 + 10x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$ +- $r_B(x) = 1 + 15x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^6$ +- $r_B(x) = 1 + 10x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^6$ +- $r_B(x) = 1 + 25x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$ + + + +//Formanowicz 2019-2020 +Wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $Q$ ma wartość logiczną prawdy zawsze wtedy, gdy $P$ ma wartość logiczną prawdy. +- Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $P$ ma wartość logiczną prawdy zawsze wtedy, gdy $Q$ ma wartość logiczną prawdy. +-| Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli mają takie same wartości logiczne dla wszystkich możliwych sposobów przypisania wartości logicznych ich zmiennym zdaniowym. +- Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $Q$ ma wartość logiczną fałszu zawsze wtedy, gdy zdanie $P$ ma wartość logiczną fałszu. +- Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $P$ i $Q$ mają przeciwne wartości logiczne dla wszystkich możliwych sposobów przypisania wartości logicznych ich zmiennym zdaniowym. + +Wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$. +-| Jeżeli zdanie złożone $P$ jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie również tautologią. +- Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$. +- Jeżeli zdanie złożone $P$ jest zdaniem sprzecznym i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie tautologią. +-| Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Leftrightarrow R$ i w $P$ zastąpimy jedno lub więcej wystąpień $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$. + +//Wskaż prawa algebry zbiorów: +//-| $A \cap (A \cup B) = A$ +//- $A \cup (A \cap B) = B$ +//- $A \cup (A \cap B) = \overline{A}$ +//-| $(A \cap B) \cup C = (A \cap C) \cup (B \cup C)$ +//- $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ + +Wskaż definicję relacji równoważności: +- Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją przeciwzwrotną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności. +-| Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności. +- Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją zwrotną, antysymetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności. +- Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją przeciwzwrotną, antysymetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności. +- Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest spójną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności. + +Wskaż zdania będące definicjami izomorfizmu grafów: +- Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_2$. +- Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_1$. +-| Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_2$. +- Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \notin E_2$. +- Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{f(x), f(y)\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_2$. + +Niech $G=(V_1, V_2, E)$ będzie grafem dwudzielnym. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +-Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór złożony z $|V_2|$ krawędzi, które nie mają wspólnych wierzchołków końcowych. +-|Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór złożony z $|V_1|$ krawędzi, które nie mają wspólnych wierzchołków końcowych. +-Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór z tych krawędzi, które oba wierzchołki końcowe mają w zbiorze $V_1$. +-Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór z tych krawędzi, które oba wierzchołki końcowe mają w zbiorze $V_2$. +-Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest podzbiór zbioru $V_1$ zawierający wszystkie wierzchołki o stopniu parzystym. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +-|Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\gcd(a,b)$ dzieli $c$. +-Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c$ dzieli $\gcd(a,b)$. +-Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ są liczbami pierwszymi. +-Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c$ dzieli $\operatorname{lcm}(a,b)$. +-Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{lcm}(a,b)$ dzieli $c$. + +Niech $H$ będzie grafem sprzężonym pewnego grafu $G$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +-W grafie $G$ istnieje ścieżka Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje droga Eulera. +-|W grafie $G$ istnieje droga Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje ścieżka Hamiltona. +-W grafie $G$ istnieje droga Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje obwód Eulera. +-W grafie $G$ istnieje ścieżka Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje cykl Hamiltona. +-W grafie $G$ istnieje cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje ścieżka Hamiltona. + +Niech $G=(V_1,V_2,E)$ będzie grafem dwudzielnym. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +-|Minimalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest maksymalnej liczbie krawędzi w skojarzeniu. +-Minimalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest minimalnej liczbie krawędzi w skojarzeniu. +-Minimalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest liczbie krawędzi grafu $G$. +-Maksymalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest minimalnej liczbie wierzchołków w skojarzeniu. +-Maksymalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest maksymalnej liczbie wierzchołków w skojarzeniu. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- $1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+...$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ +-| $1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+...$jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ +-| $x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ +- $x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ +- $x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ + +//Formanowicz 2021-2022 + +Funkcję $e^x$ można przedstawić w postaci: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- $e^x$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \frac{1}{4!}, \dots$. +- $e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots$. +-| $e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \frac{1}{4!}, \dots$. +- $e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, \dots$. +-| $e^x$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots$. + +Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe: +- Zdaniem odwrotnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $p \rightarrow \neg q$. +-| Zdaniem przeciwstawnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg q \rightarrow \neg p$. +- Zdanie złożone jest tautologią, jeżeli jest ono fałszywe niezależnie od wartości logicznych jego zdań składowych. +- Zdaniem odwrotnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg p \rightarrow \neg q$. +- Zdaniem przeciwstawnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg q \rightarrow p$. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- $5$ i $10$ są liczbami względnie pierwszymi. +-| $2$ i $3$ są liczbami względnie pierwszymi. +- $1$ jest najmniejszą liczbą pierwszą. +-| $2$ jest najmniejszą liczbą pierwszą. +- $0$ jest najmniejszą liczbą pierwszą. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{A_1, A_2, \dots, A_n\}$. +- Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \geq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$. +-| Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$. +-| Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \leq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$. +- Transwersalą rodziny zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest zbiór $Y = (A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) \setminus (A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n)$, którego elementy mogą zostać zapisane w pewnym porządku. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(n-k,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie. +-| Jeżeli graf $G$ jest etykietowalny za pomocą etykiet o długości $k>2$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności, to jest on również etykietowalny za pomocą etykiet o długości $l=2, \dots, k-1$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności. +-| Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(nk,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie. +- Grafu niespójnego nie można zaetykietować. +- Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(k,nk)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = 2$. +-| Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli $\gcd(a, b) = 1$. +- Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli $\gcd(a, b) = 0$. +-| Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = 1$. +- Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = \sqrt{2}$.d + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Funkcja $f(x) = a_0 x_0 + a_1 x_1 + a_2 x_2^2 + a_3 x_3^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x_i^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1 x_1, a_2 x_2, a_3 x_3, \dots$. +-| Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +- Funkcja $f(x) = \frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_1} + \frac{2! x^2}{a_2} + \frac{3! x^3}{a_3} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i! x^i}{a_i}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +- Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +-| Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + \frac{a_2 x^2}{2!} + \frac{a_3 x^3}{3!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i x^i}{i!}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. + +Wybierz wszystkie poprawne: +- Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. +- Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i przeciwzwrotną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. +- Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. +-| Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, antysymetryczną, zwrotną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. +- Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +Wybierz wszystkie poprawne: +- Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli występuje w nim parzysta liczba rozłącznych ścieżek Hamiltona. +- Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli $V=V_1 \cup V_2$, $V_1 \subseteq V_2$ oraz dla każdej krawędzi $\{x,y\} \in E$ zachodzi $x \in V_1 \land y \in V_2$. +-| Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli jego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne podzbiory w taki sposób, że żadna krawędź występująca w tym grafie nie jest incydentna z dwoma wierzchołkami należącymi do tego samego podzbioru. +- Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli występuje w nim parzysta liczba rozłącznych cykli. +-| Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli $V=V_1 \cup V_2$, $V_1 \cap V_2 = \emptyset$ oraz dla każdej krawędzi $\{x,y\} \in E$ zachodzi $x \in V_1 \land y \in V_2$. + +Wybierz wszystkie poprawne: +- Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to największy podgraf pełny tego grafu. +- Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to jego drzewo rozpinające. +- Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to ścieżka przechodząca przez wszystkie jego wierzchołki. +- Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to droga przechodząca przez wszystkie jego krawędzie. +-| Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to zbiór krawędzi, z których żadne dwie nie mają wspólnego wierzchołka końcowego. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania będące definicjami drzewa. +- Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli posiada korzeń. +- Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i $|V|=|E|-1$. +-| Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i jeżeli $x,y \in V$ oraz $\{x,y\} \notin E$, to dodanie do $G$ krawędzi $\{x,y\}$ spowoduje powstanie grafu $G'$ zawierającego dokładnie jeden cykl. +-| Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i $|V|=|E|+1$. +- Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli jest spójny i $|V|=|E|-1$. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +- 1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^-(x) \cap N^-(y) \neq \emptyset$. +-| 1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^+(x) = N^+(y)$. +- 1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow (N^+(x) = N^+(y) \land N^-(x) \cap N^-(y) = \emptyset)$. +- 1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^-(x) \cap N^-(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset$. +- 1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^-(x) \cap N^-(y) = \emptyset$. + +Niech $G=(V,E)$ będzie grafem nieskierowanym bez wierzchołków izolowanych. Wśród poniższych zdań wskaż zdania prawdziwe. +- $G$ zawiera cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma nieparzysty stopień. +- $G$ zawiera drogę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i zawiera dokładnie dwa wierzchołki o stopniu nieparzystym. +-| $G$ zawiera obwód Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma parzysty stopień. +- $G$ zawiera drogę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i zawiera dokładnie dwa wierzchołki o stopniu parzystym. +- $G$ zawiera cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma parzysty stopień. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +-| $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$. +- $x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0, 1, 2, 3, 4, \dots$. +- $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0, 1, 2, 3, 4, \dots$. +- $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$. +- $x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$. + + +Wybierz wszystkie poprawne: +-| Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest maksymalnej wartości przepływu z $x$ do $y$. +- Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci maksymalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest minimalnej wartości przepływu z $x$ do $y$. +- Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest minimalnej wartości przepływu z $x$ do $y$. +- Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci maksymalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest maksymalnej wartości przepływu z $x$ do $y$. +- Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest $out(x)$. + +Wybierz wszystkie poprawne: +- Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma może być większa niż $\binom{n}{2}$. +- Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma może być mniejsza niż $\binom{n}{2}$. +- Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to dla pewnego $r$, takiego że $2 \leq r \leq n$, można wybrać $r$ spośród tych liczb w taki sposób, że suma wybranych liczb jest mniejsza niż $\binom{n}{2}$. +-| Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to dla żadnego $r$, takiego że $2 \leq r \leq n$, nie można wybrać $r$ spośród tych liczb w taki sposób, że suma wybranych liczb jest mniejsza niż $\binom{r}{2}$. +-| Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma nie może być ani mniejsza, ani większa niż $\binom{n}{2}$. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +- W grafie de Bruijna $B(d,k)$ może wystąpić co najwyżej $k$ etykiet o długości $d$. +- W grafie de Bruijna $B(d,k)$ może wystąpić co najwyżej $d$ etykiet o długości $k$. +- Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $k^d$ łuków. +- Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $k^d$ wierzchołków. +-| Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $d^k$ wierzchołków. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +- Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +- Funkcja $f(x) = a_0^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0 x_0, a_1 x_1, a_2 x_2, a_3 x_3, \dots$. +- Funkcja $f(x) = \frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_1} + \frac{2! x^2}{a_2} + \frac{3! x^3}{a_3} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i! x^i}{a_i}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +-| Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +-| Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + \frac{a_2 x^2}{2!} + \frac{a_3 x^3}{3!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i x^i}{i!}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. + +Wśród poniższych zdań wskaż definicje odpowiednich relacji. +- Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy spójną wtedy i tylko wtedy, gdy warunki $\langle x, y \rangle \in \rho$ i $\langle y, z \rangle \in \rho$ implikują warunek $\langle x, z \rangle \in \rho$ dla każdych trzech elementów $x, y, z$ zbioru $X$. +-| Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy symetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy z warunku $\langle x, y \rangle \in \rho$ wynika warunek $\langle y, x \rangle \in \rho$ dla każdego $x, y \in X$. +- Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy zwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ spełniony jest warunek $\langle x, x \rangle \notin \rho$. +-| Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy antysymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy warunki $\langle x, y \rangle \in \rho$ i $\langle y, x \rangle \in \rho$ pociągają za sobą warunek $x = y$ dla każdej pary $x, y$ elementów zbioru $X$. +- Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy przeciwzwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ spełniony jest warunek $\langle x, x \rangle \in \rho$. + +Wśród poniższych zdań wskaż definicje odpowiednich funkcji. +- Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $Y$ na zbiór $X$. +-| Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $X$ na zbiór $Y$. +- Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = x$. +-| Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y$. +- Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y^{-1}$. + +Niech $a, b, c \in \mathbb{Z}$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +-| $[(a|b) \land (a|c)] \Rightarrow a|(bx + cy)$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{Z}$. +- $a|b \Rightarrow a|x^b$ dla każdego $x \in \mathbb{Z}$. +- $[(a|b) \land (a|c)] \Rightarrow (bx + cy)|a$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{Z}$. +- $[(a|b) \land (b|c)] \Rightarrow c|a$. +-| Jeżeli $x = y + z$ dla pewnych $x, y, z \in \mathbb{Z}$ oraz $a$ dzieli dwie z trzech liczb $x, y, z$, to $a$ dzieli również trzecią z tych liczb. + + +Wybierz wszystkie poprawne: +-| Turniej z udziałem $n$ graczy oznaczonych kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi $1, 2, \dots, n$ jest zbiorem $\binom{n}{2}$ uporządkowanych par zawodników, przy czym dla $1 \leq i < j \leq n$ w turnieju występuje albo para $(i, j)$ albo para $(j, i)$. +- Turniej z udziałem $n$ graczy oznaczonych kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi $1, 2, \dots, n$ jest posortowaną listą zawodników. +- Turniej z udziałem $n$ graczy oznaczonych kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi $1, 2, \dots, n$ jest zbiorem $\binom{n}{2}$ nieuporządkowanych par zawodników. +- Turniej z udziałem $n$ graczy oznaczonych kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi $1, 2, \dots, n$ jest zbiorem $\binom{n}{3}$ nieuporządkowanych trójek zawodników. +- Turniej z udziałem $n$ graczy oznaczonych kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi $1, 2, \dots, n$ jest zbiorem wszystkich zawodników. + +Wśród poniższych zdań wskaż reguły podstawiania. +- Jeżeli zdanie złożone $P$ jest zdaniem sprzecznym i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie tautologią. +-| Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Leftrightarrow R$ i jeśli w $P$ zastąpimy jedno lub więcej wystąpień $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$. +- Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $R \Rightarrow Q$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$. +- Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$. +-| Jeżeli zdanie złożone $P$ jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie również tautologią. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania będące definicjami odpowiednich zbiorów. +-| Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $O(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $O(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq f(n) \leq c g(n)$ dla wszystkich $n \geq n_0 \}$. +- Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $O(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $O(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq f(n) \leq c g(n)$ dla wszystkich $n \leq n_0 \}$. +-| Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $\Omega(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $\Omega(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq c g(n) \leq f(n)$ dla wszystkich $n \geq n_0 \}$. +- Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $\Omega(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $\Omega(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq f(n) \leq c g(n)$ dla wszystkich $n \geq n_0 \}$. +- Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $\Omega(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $\Omega(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq c g(n) \leq f(n)$ dla wszystkich $n \leq n_0 \}$. + +Wśród poniższych zdań wskaż zdania prawdziwe. +- Dla każdego drzewa $G = (V, E)$ zachodzi $|V| = |E| - 1$. +-| Graf nieskierowany $G = (V, E)$ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy posiada drzewo rozpinające. +- W drzewie $G = (V, E)$ między każdą parą wierzchołków $x, y \in V$ istnieją co najmniej dwie ścieżki. +-| W drzewie $G = (V, E)$ między każdą parą wierzchołków $x, y \in V$ istnieje dokładnie jedna ścieżka. +- Drzewo $G = (V, E)$ takie, że $|V| \geq 2$, ma co najmniej trzy wierzchołki o stopniu równym 1. + +Niech dana będzie przestrzeń $U$ oraz pewien jej podzbiór $A$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +-| Zbiór potęgowy zbioru $A$ jest to zbiór wszystkich podzbiorów zbioru $A$. +- Dopełnienie zbioru $A$ jest to zbiór $A \setminus U$. +- Dopełnienie zbioru $A$ jest to zbiór $A \cup U$. +- Dopełnienie zbioru $A$ jest to zbiór $A \cap U$. +- Zbiór potęgowy zbioru $A$ jest to zbiór zawierający te elementy przestrzeni $U$, które nie należą do $A$. + +Niech $p$ i $q$ będą zdaniami logicznymi prostymi, $T_0$ niech będzie dowolną tautologią, a $F_0$ dowolnym zdaniem sprzecznym. Wśród poniższych par zdań wskaż zdania logicznie równoważne. +-| $p \rightarrow q, \neg p \lor q$ +- $p \land F_0, p$ +- $p \lor T_0, p$ +-| $p \land F_0, F_0$ +- $p \land T_0, \neg p$ + +Niech $A, B$ i $C$ będą podzbiorami pewnej przestrzeni $U$. Wśród poniższych zdań wskaż prawa algebry zbiorów. + +- $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ +- $(A \cap B) \cap C = A \cup (B \cap C)$ +-| $A \cup (A \cap B) = A$ +- $A \cap (A \cup B) = \overline{A}$ +-| $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ + + +// Sterna 2023-2024 niestacjonarne + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Wszystkie $k$-elementowe kombinacje bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru, dla $k = 0, \ldots, n$, mogą być wygenerowane za pomocą generacji wszystkich liczb binarnych z zakresu od $1$ do $2^n$. +- Każde rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach odpowiada $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +-| Z każdej $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego można utworzyć $k!$ różnych $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +- Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego wynosi $\binom{n}{k}$, gdzie $n \leq k < n$. +- Każda $k$-elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewnemu podziałowi tego zbioru na $k$ podzbiorów. + +Obiekty $|A, C, D|$ i $|B, E, F|$ utworzono ze zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$. Kolejność tych obiektów oraz uporządkowanie ich elementów nie jest istotna. Obiekty te są przykładem: +- podziału uporządkowanego zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$, ponieważ elementy w obiektach są ustawione alfabetycznie. +-| podziału zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$ na dwa podzbiory. +- dwóch 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego. +- dwóch 3-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego. +- dwóch 3-elementowych permutacji z powtórzeniami, w których poszczególne elementy występują tylko jeden raz. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- $k$-wyrazową permutacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru. +- Permutacja z powtórzeniami może być interpretowana jako dowolne rozmieszczenie $n$ rozróżnialnych obiektów w $k$ rozróżnialnych pudełkach. +- $k$-wyrazowe permutacje z powtórzeniami są równoważne $k$-wyrazowym wariacjom z powtórzeniami +-| Liczba $n$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami jest nie większa niż liczba $n$-wyrazowych permutacji bez powtórzeń. +- W $n$-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru $\{a_1, \ldots, a_n\}$, w której element $a_i$ powtarza się $n_i$ razy, dla $i = 1, \ldots, k$, zachodzi: $\sum_{i=1}^{k} n_i = n!$. + +3 identyczne elementy mogą być wrzucone w dowolny sposób do 6 rozróżnialnych pudełek na +- $\binom{6}{3}$ sposobów. +- $6^3$ sposobów. +- $3^6$ sposobów. +-| $\binom{6+3-1}{3}$ sposobów. +- $\frac{6!}{3!}$ sposobów. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla pewnego $n_0 \in \mathbb{Z}^{+}$ ma postać: $[S(n_0) \land [\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k+1)]]] \implies \forall_{n \geq 1} S(n)$. +- Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego, dowolnego ze zdań poprzedzających. +-| Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$ ma postać: $[(\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k + 1)]) \land S(1)] \implies \forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$. +- Zasada indukcji matematycznej może być wykorzystana do dowodzenia twierdzeń dotyczących dowolnych liczb dodatnich. +- Jeśli pewne twierdzenie $\forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \geq 1$, to może ono być udowodnione z wykorzystaniem drugiej zasady indukcji matematycznej. + +Pierwsza i druga zasada indukcji matematycznej: +-| są równoważne. +- nie są równoważne. +- są równoważne jedynie dla twierdzeń dotyczących liczb naturalnych. +- mogą być zastosowane do dowodzenia twierdzeń dotyczących liczb rzeczywistych dodatnich. +- są technikami dowodzenia twierdzeń dotyczących wyłącznie zależności rekurencyjnych jednorodnych. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +-Druga zasada indukcji matematycznej dla dowolnych $n_0, n_1 \in \mathbb{Z}^+$, $n_0 \leq n_1$, ma postać: $[[S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(n_1)] \land [\forall_{k \geq n_0} [[S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(k)] \Rightarrow S(k+1)]]] \Rightarrow \forall_{n \geq n_1} S(n)$ +-Druga zasada indukcji matematycznej jest wykorzystywana do dowodzenia twierdzeń postaci: $\forall_{n \in \mathbb{Z}^+} S(n)$, takich że zdanie $S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \in \mathbb{Z}^+$. +-|Druga zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$, $n_1 \geq 1$ ma postać: $\left[ \forall_{k \geq n_1} [[ S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(k) ] \Rightarrow S(k+1)] \land [S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(n_1)] \right] \Rightarrow \forall_{n \geq n_1} S(n)$ +-Jeśli w dowodzie kroku indukcyjnego wykorzystuje się założenie o prawdziwości tylko jednego ze zdań $S(x)$ poprzedzających zdanie $S(k+1)$, $x \leq k$, to w pierwszej zasadzie twierdzenia wystarczy pierwsza zasada indukcji matematycznej. +-W pierwszej zasadzie indukcji matematycznej z prawdziwości warunku początkowego lub kroku indukcyjnego wynika prawdziwość hipotezy indukcyjnej. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_n = ca_0^n$, $c$ oznacza pewną stałą i $n \in \mathbb{N}$. +- Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o pierwiastku podwójnym ma postać $a_n = c_1 r^n + c_2 n r^n$, gdzie $c_1$ i $c_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu. +-| Pełna definicja ciągu opisanego zależnością rekurencyjną rzędu $k$-tego musi zawierać wartości $k$ kolejnych (np. początkowych) elementów tego ciągu. +- Zależność rekurencyjna postaci $c_{n} a_{n} + c_{n-1} a_{n-1} + \ldots + c_k a_{k} = 0$, gdzie $c_{i}$ dla $i = n, \ldots, k$ są pewnymi stałymi rzeczywistymi, $c_{n} \neq 0$ i $c_{k} \neq 0$ nazywamy liniową jednorodną zależnością rekurencyjną rzędu k-tego ze stałymi współczynnikami. +- Każdy pierwiastek pojedynczy $r$ równania charakterystycznego wprowadza do rozwiązania liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej ze stałymi współczynnikami rzędu $k \geq 2$ czynnik $r c^n$, gdzie $c$ jest pewną stałą, którą można wyznaczyć w oparciu o początkowe wyrazy ciągu. + +Zależność rekurencyjna $(a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_{n+1} = 3a_{n-2} = 3n \text{ dla } n \geq 2)$ jest zależnością rekurencyjną: +-| liniową ze stałymi współczynnikami rzędu trzeciego niejednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego jednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego niejednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu pierwszego jednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu trzeciego jednorodną. + +Zależność rekurencyjna $(a_0 = 1, a_1 = 2, na_{n} + 3a_{n-1} - a_{n-2} = 0 \text{ dla } n \geq 2)$ jest zależnością: +- niejednorodną. +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym. +-| nieliniową. +-| która nie może być rozwiązywana metodą równania charakterystycznego. +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +-| Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$ niepustych rozłącznych podzbiorów są nie większe niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ niepustych cyklach. +- Definicja rekurencyjna liczb Stirlinga drugiego rodzaju zawiera zależność postaci: $S(n, k) = S(n-1, k) + k \cdot S(n-1, k-1)$, a definicja rekurencyjna liczb Stirlinga pierwszego rodzaju: $s(n, k) = s(n-1, k) + (n-1) \cdot s(n-1, k-1)$ $(\text{gdzíe n} > 0, k > 0)$. +- Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle\left\langle {n \atop k} \right\rangle\right\rangle$ oznaczają liczbę permutacji z powtórzeniami multizbioru $\{1, 1, 2, 2, \ldots, k, k\}$ zawierających $n$ wzniesień. +- Liczby harmoniczne pierwszego rzędu tworzą ciąg zbieżny do pewnej granicy, ponieważ zgodnie z definicją rekurencyjną każda kolejna liczba $H_{n+1}$ powstaje z poprzedniej liczby $H_n$ przez dodanie ułamka $\frac{1}{n+1}$. +- W systemie liczbowym Fibonacciego, zbudowanym w oparciu o twierdzenie Zeckendorfa, do jednoznacznej reprezentacji liczb całkowitych dodatnich wykorzystuje się wszystkie liczby Fibonacciego $F_k$, dla $k \geq 0$. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Liczby harmoniczne rzędu $r$, dla $r > 1$, tworzą ciąg rozbieżny. +- W ciągu liczby Stirlinga drugiego rodzaju mogą pojawić się liczby niebędące liczbami całkowitymi. +-| Każdej $n$-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewien układ cykli i każdemu układowi cykli odpowiada pewna $n$-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +- Liczby Fibonacciego są liczbami opisanymi zależnością rekurencyjną rzędu trzeciego, ponieważ w definicji występują trzy elementy ciągu. +- Liczby Eulera związane są z liczbą cykli Eulera w grafie. + +Poprawna zasada włączania i wyłączania dla 3 dowolnych zbiorów ma postać: +- $|A_1 \cap A_2 \cap A_3| = |A_1| \cdot |A_2| \cdot |A_3|$ +- $|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cup A_2| - |A_1 \cup A_3| - |A_2 \cup A_3| + |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$ +- $|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$ +-| $|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$ +- $|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$ + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Zasada włączania i wyłączania mówi, że liczba elementów pewnego zbioru $S$, $|S| = N$, które nie spełniają żadnego z warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, jest równa $N = N - N(c_1) - N(c_2) - ... - N(c_t)$, gdzie $N(c_i)$ oznacza liczbę elementów $S$ spełniających warunek $c_i$. +-| Zasada włączania i wyłączania dla zbioru $S$ i warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, spełnionych przez pewne elementy ze zbioru $S$ ma postać: $N(\overline{c_1, c_2, \dots, c_t}) = |S| - \sum_{1 \leq i \leq t} N(c_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq t} N(c_i, c_j) - \sum_{1 \leq i < j < k \leq t} N(c_i, c_j, c_k) + ... + (-1)^t N(c_1, c_2, \dots, c_t)$. +- Zasada włączania i wyłączania w postaci alternatywnej dotyczy pewnego zbioru $S$, dla którego zdefiniowane są warunki $c_i$, $1 \leq i \leq t$, które muszą być spełnione przez wszystkie elementy zbioru $S$. +- Symbol $N(c_i c_j)$ występujący w zasadzie włączania i wyłączania oznacza liczbę elementów ze zbioru $S$ spełniających warunki $c_i \land c_j$ i równocześnie niespełniających pozostałych warunków $c_k$ ($1 \leq i, j \leq t$, $k \neq i$, $k \neq j$). +- Dowód zasady włączania i wyłączania w postaci alternatywnej jest oparty o prawa teorii mnogości. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to każdy z tych podzbiorów zawiera $|S|/k$ elementów lub więcej. +- Dowód zasady szufladkowej Dirichleta wykorzystuje pojęcie uporządkowanego podziału zbioru. +- „Klasyczna” zasada szufladkowa Dirichleta w żaden sposób nie wynika z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta, ponieważ dotyczy zbiorów o odmiennych własnościach. +-| Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to średnia liczność tych zbiorów wynosi $|S|/k$. +- Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, \dots, A_k$ będących rozłącznymi podzbiorami pewnego skończonego zbioru $S$. + +Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ będących podzbiorami zbioru $10$ elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do dokładnie $4$ podzbiorów: +-| wynosi dokładnie $8$. +- wynosi dokładnie $10$. +- wynosi mniej niż $8$. +- wynosi co najmniej $10$. +- nie może być określona. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Każda macierz o wymiarze $p \times q$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $\min(p, q) < n$, w której w żadnym wierszu elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim. +-| Rozszerzanie prostokąta łacińskiego $p \times n$ o jeden wiersz wymaga wyznaczenia dowolnego systemu różnych reprezentantów rodziny zbiorów $\{A_1, \dots, A_n\}$, gdzie zbiór $A_i$ zawiera elementy dotychczas niewystępujące w kolumnie $i$ ($1 \leq i \leq n$). +- Rozszerzając prostokąt łaciński $p \times q$, do kwadratu $n \times n$ należy w nowej kolumnie umieścić wszystkie elementy $i = 1, \dots, n$, dla których liczba wystąpień spełnia warunek $L(i) > p + q - n$. +- Pewne prostokąty łacińskie $p \times n$, w których liczba wystąpień niektórych elementów jest zbyt mała, nie mogą być rozszerzone do kwadratu łacińskiego $n \times n$. +- Kwadratem grecko-łacińskim, czyli kwadratem Eulera, nazywamy złożenie dwóch dowolnych kwadratów łacińskich o takim samym rozmiarze. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Wielomian szachowy $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$, to funkcja, której wartość oznacza liczbę możliwych rozmieszczeń $n$ wzajemnie nieatakujących się wież na szachownicy o wymiarze $x \times x$. +- Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C$ i $D$, to wówczas $r_B(x) = r_C(x) + r_D(x)$. +-| Jeśli w wielomianie szachowym $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$ dla szachownicy $B$ o wymiarze $n \times n$ współczynnik $r_n = 0$, to na szachownicy $B$ nie można rozmieścić $n$ wzajemnie nieatakujących się wież. +- Dekompzycja wielomianów szachowych jest możliwa wyłącznie wówczas, jeśli daną szachownicę można podzielić na dwa rozłączne obszary niemające wspólnych wierszy ani kolumn. +- Szachownicę $B$ można zdekomponować, poprzez wybór pewnego pola dopuszczalnego $s$, na dwie szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ niedostępny jest wiersz, a w $B^2$ niedostępna jest kolumna zawierająca pole $s$. + +Zaznacz funkcję tworzącą, która może być wielomianem szachowym pewnej szachownicy o wymiarze $5 \times 5$: +- $r_B(x) = 2 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$. +-| $r_B(x) = 1 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$. +- $r_B(x) = 1 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 1x^6$. +- $r_B(x) = 1 + 26x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$. +- $r_B(x) = 0 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$. + diff --git a/tools/validate_qaml.php b/tools/validate_qaml.php new file mode 100644 index 0000000..4a2ab3d --- /dev/null +++ b/tools/validate_qaml.php @@ -0,0 +1,90 @@ + $rawLine) { + $lineNo = $i + 1; + $line = trim($rawLine); + + if ($line === '' || str_starts_with($line, '//')) { + continue; + } + + if (!str_starts_with($line, '-')) { + $finishQuestion(); + $question = $line; + $questionLine = $lineNo; + continue; + } + + if ($question === null) { + $errors[] = "Line {$lineNo}: answer appears before any question."; + continue; + } + + if (str_starts_with($line, '-|')) { + $answer = trim(substr($line, 2)); + } else { + $answer = trim(substr($line, 1)); + } + + if ($answer === '') { + $errors[] = "Line {$lineNo}: answer is empty."; + } + + $answers++; +} + +$finishQuestion(); + +$content = file_get_contents($path) ?: ''; +preg_match_all('/]*src=["\']([^"\']+)["\'][^>]*>/i', $content, $matches); +foreach ($matches[1] ?? [] as $src) { + if (str_starts_with($src, 'img/') && !is_file($baseDir . '/' . $src)) { + $errors[] = "Missing image referenced from pytania.txt: {$src}"; + } +} + +if ($questionCount === 0) { + $errors[] = 'No questions found.'; +} + +if ($errors !== []) { + foreach ($errors as $error) { + fwrite(STDERR, $error . PHP_EOL); + } + exit(1); +} + +echo "OK: {$questionCount} questions validated.\n";