commit c470d4f05275a607347ade248f1f9295be0ca4bc Author: ZoltyKaplan Date: Mon May 18 16:40:38 2026 +0200 Initial QAML question data diff --git a/.github/pull_request_template.md b/.github/pull_request_template.md new file mode 100644 index 0000000..8622dbd --- /dev/null +++ b/.github/pull_request_template.md @@ -0,0 +1,17 @@ +## Co zmieniasz? + +- [ ] poprawiam treść pytania +- [ ] poprawiam odpowiedź +- [ ] dodaję nowe pytanie +- [ ] dodaję/zmieniam obrazek w `img/` +- [ ] usuwam duplikat albo błąd + +## Źródło / uzasadnienie + +Opisz krótko skąd pochodzi poprawka albo dlaczego obecna wersja jest błędna. + +## Checklist + +- [ ] każde pytanie i każda odpowiedź mieści się w jednej linii +- [ ] każda odpowiedź zaczyna się od `-` albo `-|` +- [ ] obrazki użyte jako `img/...` istnieją w repozytorium diff --git a/.github/workflows/validate.yml b/.github/workflows/validate.yml new file mode 100644 index 0000000..9e8ee56 --- /dev/null +++ b/.github/workflows/validate.yml @@ -0,0 +1,14 @@ +name: Validate QAML + +on: + pull_request: + push: + branches: [main] + +jobs: + validate: + runs-on: ubuntu-latest + steps: + - uses: actions/checkout@v4 + - name: Validate pytania.txt + run: php tools/validate_qaml.php pytania.txt diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..b0adfa1 --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,6 @@ +ip.txt +ip.txt.old +*.log +*.bak +*.old +.DS_Store diff --git a/CONTRIBUTING.md b/CONTRIBUTING.md new file mode 100644 index 0000000..0e163d2 --- /dev/null +++ b/CONTRIBUTING.md @@ -0,0 +1,13 @@ +# Jak zgłaszać poprawki + +Poprawki zgłaszamy przez Pull Request. + +Najczęstsze dobre zmiany: + +- poprawienie literówki, +- oznaczenie prawidłowej odpowiedzi jako `-|`, +- usunięcie błędnej odpowiedzi, +- dopisanie źródła w komentarzu `//`, +- dodanie brakującego obrazka do `img/`. + +Nie zmieniaj formatu pliku na pełny Markdown, JSON, CSV ani HTML. To repozytorium używa prostego formatu QAML opisanego w `README.md`. diff --git a/README.md b/README.md new file mode 100644 index 0000000..bc843dd --- /dev/null +++ b/README.md @@ -0,0 +1,203 @@ +# Baza pytań quizu + +To repozytorium zawiera dane quizu: `pytania.txt` oraz opcjonalny katalog `img/` z obrazkami używanymi w pytaniach. + +Kod aplikacji nie jest częścią tego repozytorium. Zmiany w pytaniach należy zgłaszać przez Pull Request. + +## QAML — Question Answer Markdown Lines + +QAML to prosty liniowy format zapisu pytań testowych wielokrotnego wyboru. + +Format wygląda jak Markdown, ale jego składnia strukturalna jest znacznie prostsza. Parser nie analizuje pełnego Markdowna. Interpretuje wyłącznie początki linii: + +- linia pytania, +- linia odpowiedzi błędnej, +- linia odpowiedzi poprawnej, +- komentarz, +- pusta linia. + +Treść pytania i odpowiedzi może zawierać Markdown, HTML oraz inline LaTeX, ale parser traktuje je jako zwykły tekst. + +## Minimalny przykład + +```text +// Przykładowa sekcja + +Zaznacz zdania prawdziwe +- To jest odpowiedź błędna. +-| To jest odpowiedź poprawna. +- To jest kolejna odpowiedź błędna. + +Ile wynosi $2 + 2$? +- 3 +-| 4 +- 5 +``` + +## Reguły składni + +### 1. Pytanie + +Pytaniem jest każda niepusta linia, która: + +- nie zaczyna się od znaku `-`, +- nie zaczyna się od `//`. + +Pytanie musi mieścić się w jednej linii. + +Poprawnie: + +```text +Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące indukcji matematycznej. +``` + +Niepoprawnie: + +```text +Zaznacz zdania prawdziwe +dotyczące indukcji matematycznej. +``` + +Drugi zapis zostanie zinterpretowany jako dwa osobne pytania. + +### 2. Odpowiedź błędna + +Odpowiedź błędna zaczyna się od pojedynczego myślnika `-`. + +Poprawne są oba style: + +```text +- Odpowiedź błędna +-Odpowiedź błędna +``` + +Parser usuwa znak `-`, a następnie przycina białe znaki z początku i końca odpowiedzi. + +### 3. Odpowiedź poprawna + +Odpowiedź poprawna zaczyna się od `-|`. + +Poprawne są oba style: + +```text +-| Odpowiedź poprawna +-|Odpowiedź poprawna +``` + +Parser usuwa prefiks `-|`, a następnie przycina białe znaki z początku i końca odpowiedzi. + +### 4. Pytania jednokrotnego i wielokrotnego wyboru + +Format dopuszcza dowolną liczbę poprawnych odpowiedzi, w tym zero poprawnych odpowiedzi albo wszystkie odpowiedzi poprawne. + +Pytanie jednokrotnego wyboru: + +```text +Ile wynosi $2 + 2$? +- 3 +-| 4 +- 5 +``` + +Pytanie wielokrotnego wyboru: + +```text +Wskaż liczby pierwsze +-| 2 +-| 3 +- 4 +-| 5 +``` + +Parser nie narzuca liczby poprawnych odpowiedzi. Zero poprawnych odpowiedzi może oznaczać zadanie, w którym żadna odpowiedź nie jest prawdziwa, a oznaczenie wszystkich odpowiedzi jako `-|` może oznaczać zadanie, w którym wszystkie odpowiedzi są prawdziwe. + +### 5. Komentarze + +Komentarzem jest linia zaczynająca się od `//`. + +Przykłady: + +```text +// Sterna 2024/2025 B +// Formanowicz 2021-2022 +``` + +Komentarze są ignorowane przez parser demonstracyjny. Można ich używać jako nagłówków sekcji, źródeł, dat albo notatek. + +### 6. Puste linie + +Puste linie są ignorowane. Można ich używać do oddzielania pytań, odpowiedzi lub sekcji. + +## LaTeX + +Dozwolony jest inline LaTeX między pojedynczymi znakami dolara: + +```text +Ile wynosi $\binom{n}{k}$? +``` + +Dozwolony przykład: + +```text +-| Liczba kombinacji wynosi $\binom{n}{k}$. +``` + +Nie jest częścią formalnej składni: + +```text +$$ +a^2 + b^2 = c^2 +$$ +``` + +oraz: + +```text +\[ a^2 + b^2 = c^2 \] +``` + +Parser demonstracyjny nie waliduje poprawności LaTeX-a. Traktuje zapis `$...$` jako zwykły fragment tekstu. + +## HTML i obrazki + +HTML jest dopuszczony jako część treści pytania lub odpowiedzi. + +Przykład: + +```text +Zaznacz funkcję odpowiadającą obrazkowi +-| $f(x) = x^2$ +- $f(x) = x$ +``` + +Jeżeli `pytania.txt` odwołuje się do obrazka przez `img/...`, plik musi istnieć w katalogu `img/` w tym repozytorium. + +## Jedna linia = jeden element + +To najważniejsza zasada formatu. + +Każde pytanie i każda odpowiedź muszą mieścić się w jednej fizycznej linii. + +Poprawnie: + +```text +Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące funkcji $f(x) = x^2$. +-| Funkcja jest parzysta. +- Funkcja jest nieparzysta. +``` + +Niepoprawnie: + +```text +Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące funkcji +$f(x) = x^2$. +-| Funkcja jest parzysta. +``` + +Parser potraktuje drugą linię jako nowe pytanie. + +## Walidacja lokalna + +```bash +php tools/validate_qaml.php pytania.txt +``` diff --git a/img/fakturka.png b/img/fakturka.png new file mode 100644 index 0000000..b2618e9 Binary files /dev/null and b/img/fakturka.png differ diff --git a/img/zad_20_sterna_2019-2020.png b/img/zad_20_sterna_2019-2020.png new file mode 100644 index 0000000..7e18975 Binary files /dev/null and b/img/zad_20_sterna_2019-2020.png differ diff --git a/pytania.txt b/pytania.txt new file mode 100644 index 0000000..b0b351e --- /dev/null +++ b/pytania.txt @@ -0,0 +1,893 @@ +//Sterna 2024/2025 B +Zaznacz zdania prawdziwe +- Uporządkowany podział zbioru, to podział zbioru na podzbiory, taki że elementy w tych podzbiorach są uporządkowane rosnąco. +-| Jeśli rodzina zbiorów $\{A_1, A_2, ..., A_k\}$ jest podziałem zbioru $S$, to $S = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k$. +- Liczba podziałów zbioru $S$ może być zapisana za pomocą współczynnika wielomianowego. +- Podziałem zbioru nazywamy każdą rodzinę pewnych niepustych rozłącznych podzbiorów zbudowanych z pewnych elementów tego zbioru. +- Wszystkie podziały pewnego zbioru $n$-elementowego można wygenerować za pomocą generacji wszystkich liczb binarnych z zakresu od $0$ do $2^n-1$. + +Obiekty kombinatoryczne $B, A, C$ i $C, A, B$ utworzone ze zbioru $\{A, B, C, D\}$ i są identyczne (nie można ich odróżnić). Podane obiekty mogą być przykładem: +- podziału zbioru na dwa podzbiory. +- 3-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego. +- 3-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego. +-| 3-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego. +- 3-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +-Każde rozmieszczenie $k$ rozróżnialnych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach odpowiada $k$-wyrazowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +-$k$-wyrazową wariacją bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru nazywamy każdy ciąg elementów pochodzących z tego zbioru, a liczba takich wariacji wynosi $n^k$. +-|Każde liniowe uporządkowanie $k$ rozróżnialnych elementów ze zbioru $n$-elementowego jest $k$-wyrazową wariacją bez powtórzeń z tego zbioru. +-$k$-wyrazową wariacją bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru i liczba takich wariacji wynosi $\frac{n!}{(n-k)!}$, gdzie $k < n$ lub $k \geq n$. +-$k$-wyrazową wariacją bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru. + +Każdy sposób wrzucenia 4 identycznych elementów do 5 rozróżnialnych pudełek jest przykładem: +- 5-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego. +- 4-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego. +-| 4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego. +- 5-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego. +- 4-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego. + + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +- Zasada dobrego uporządkowania stwierdza, że zbiór liczb całkowitych zawiera element najmniejszy. +-|Dowód poprawności pierwszej zasady indukcji matematycznej opiera się o zasadę dobrego uporządkowania i wykorzystuje technikę sprowadzania do sprzeczności. +- Zbiorem dobrze uporządkowanym jest dowolny podzbiór zbioru liczb całkowitych oraz liczb wymiernych, ale nie liczb rzeczywistych. +- Jeśli dla każdej pary elementów $a$ i $b$ można odpowiedzieć na pytanie czy $a \leq b$, to zbiór $S$ jest dobrze uporządkowany. +- Zbiór liczb całkowitych ujemnych jest dobrze uporządkowany. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +- Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(n_0) \land S(n_0+1) \land ... \land S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$. +- Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga pokazania, że dla pewnej konkretnej wartości $k \geq n_0$ zachodzi implikacja $[S(n_0) \land ... \land S(k)] \Rightarrow S(k+1)$. +-| W zasadzie silnej indukcji matematycznej warunek początkowy ma postać $S(n_0) \land S(n_0+1) \land ... \land S(n_1)$, gdzie $n_0, n_1 \in \mathbb{Z}^+$ i $n_0 \leq n_1$, a $S(n)$ oznacza zdanie otwarte, w którym występuje liczba całkowita dodatnia $n$. +- Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla każdej liczby $k \geq n_0$. +- Dowód warunku początkowego w drugiej zasadzie indukcji matematycznej wymaga pokazania prawdziwości pewnych zdań $S(n)$ dla dowolnych elementów $n$, takich że $n_0 \leq n \leq n_1$. + +Zasada indukcji matematycznej jest techniką, która może być zastosowana do dowodzenia twierdzeń $S(n)$: +- dotyczących kolejnych liczb rzeczywistych. +- dotyczących dowolnych liczb dodatnich. +- dotyczących liczb wymiernych. +-| w których $n$ należy do zbioru liczb całkowitych dodatnich. +- w których $n$ jest nieujemne. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +-| Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + c_{n-2} a_{n-2} + c_{n-3} a_{n-3} = 0$, gdzie $c_n, c_{n-1}, c_{n-2}, c_{n-3}$ są pewnymi stałymi, $c_n \neq 0$ i $c_{n-3} \neq 0$, jest liniową zależnością rekurencyjną jednorodną rzędu trzeciego i może być rozwiązana za pomocą równania charakterystycznego stopnia trzeciego. +- Rozwiązanie liniowej niejednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami, postaci $a_{n+1} + c a_n = f(n)$ jest dane wzorem: $a_n = a_0 d^n$ gdzie $d_0$ i $d$ oznaczają pewne stałe, $n \in \mathbb{N}$. +- Rozwiązanie liniowej niejednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami, ma postać $ a_n = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n$ lub $a_n = c_1 r_1^n + c_2 n r^n$ w zależności od liczby różnych pierwiastków równania charakterystycznego. +- Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o dwóch różnych pierwiastkach, ma postać $a_n = c_1 x_1^n + c_2 x_2^n$ gdzie $x_1$ i $x_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu. +- Wyznaczenie wzoru jawnego jest możliwe dla ciągów liczbowych opisanych jedynie zależnościami rekurencyjnymi jednorodnymi. + +Zależność rekurencyjna $(a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_3 = 6, 2a_{n+1} + 3a_{n-3} = 0 \text{ dla } n \geq 3)$ jest zależnością rekurencyjną: + +-| liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego jednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego jednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu pierwszego niejednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego niejednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu trzeciego jednorodną. + +Zależność rekurencyjna $(a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3, a_n + 5a_{n-1} - 4a_{n-3} = 0 \text{ dla } n \geq 3)$ jest zależnością: +- która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego. +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym. +-| dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego. +- nieliniową. +- niejednorodną. + +Zaznacz zdanie prawdziwe: +- Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$-niepustych podzbiorów są nie mniejsze niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ cyklach. +- Z definicji przyjmuje się, że liczba Stirlinga drugiego rodzaju $S(n,n) = 1$ dla $n \geq 0$, ponieważ opisywany przez nią podział jest niemożliwy. +- Liczby harmoniczne $H_n$ są dyskretnym odpowiednikiem funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$ i tworzą ciąg liczbowy rosnący logarytmicznie wolno dla $n \to \infty$. +-| Liczby Eulera pierwszego rzędu $\left\langle \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\rangle$ oznaczają liczbę $n$-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego zawierających $k$ wzniesień. +- Twierdzenie Zeckendorfa stwierdza, iż każda liczba całkowita dodatnia $n$ może być jednoznacznie przedstawiona w postaci iloczynu pewnych liczb Fibonacciego i zapisana w postaci odpowiedniego ciągu zer i jedynek. + +Zaznacz zdanie prawdziwe: +- Liczby Fibonacciego są przykładem zależności rekurencyjnej rzędu drugiego niejednorodnej. +- Ciąg liczb harmonicznych jest zbudowany z liczb całkowitych. +-| Za pomocą liczb Stirlinga pierwszego rodzaju $s(n, k)$, $k = 0, 1, \dots, n$, można obliczyć wartość funkcji $n!$. +- Liczby Eulera związane są z liczbą $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego. +- Liczby Stirlinga drugiego rodzaju związane są ze zliczaniem $k$-elementowych permutacji ze zbioru $n$-elementowego. + +Zaznacz zdanie prawdziwe: + +- Zasada włączania i wyłączania ma postać: $\left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| + \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \dots + (-1)^{n-1} |A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n|$ +-| Zasada włączania i wyłączania, mówi, że aby wyznaczyć liczbę elementów zbioru $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, należy zanalizować wszystkie możliwe przecięcia (części wspólne) zbiorów z rodziny $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ i dodać liczność przecięć nieparzystej liczby zbiorów oraz odjąć liczność przecięć parzystej liczby zbiorów. +- Zasada włączania i wyłączania, mówi, że aby wyznaczyć liczbę elementów zbioru $A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n$, należy zanalizować wszystkie możliwe przecięcia zbiorów z rodziny $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ i dodać liczność przecięć parzystej liczby zbiorów oraz odjąć liczność przecięć nieparzystej liczby zbiorów. +- Zasada włączania i wyłączania jest uogólnieniem prawa sumy umożliwiającym obliczenie liczności części wspólnej zbiorów, bez konieczności wyznaczania elementów należących do tej części wspólnej. +- Prawo sumy (pozwalające na wyznaczenie liczności sumy dwóch zbiorów) nie jest równoważne zasadzie włączania i wyłączania (pozwalającej na wyznaczenie liczności sumy zbiorów $A_1, \dots, A_n$ dla $n=2$. + +Pełna poprawna zasada włączania i wyłączania dla 4 zbiorów składa się z +- 4 składników, ponieważ są 4 zbiory. +-| 15 składników. +- 16 składników, ponieważ należy sprawdzić część wspólną każdego zbioru z każdym. +- 5 składników. +- nieskończonej liczby składników. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +- Zasada szufladkowa Dirichleta stwierdza, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to dokładnie jeden z tych zbiorów zawiera $\lceil |S|/k \rceil$ elementów lub więcej. +- Zasada szufladkowa Dirichleta stwierdza, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to liczność tych wszystkich zbiorów wynosi co najmniej $\lfloor |S|/k \rfloor$. +- Uogólniona zasada szufladkowa sprowadza się do „klasycznej” zasady szufladkowej, gdy każdy z elementów analizowanego zbioru $S$ należy do co najmniej jednego podzbioru spośród $A_1, \dots, A_k$. +-| Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa minimalną wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, \dots, A_k$ będących podzbiorami skończonego zbioru $S$, takimi że każdy element zbioru $S$ należy do co najmniej 1 spośród zbiorów $A_i$ ($1 \leq |S|/k$). +- Dowód uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta wymaga zastosowania zwykłej zasady szufladkowej. + + +Jeśli zbiór 12 elementowy zostanie podzielony w dowolny sposób na 3 niepuste rozłączne podzbiory, to +- dokładnie jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej. +- dokładnie jeden podzbiór zawiera 4 elementy. +- co najwyżej jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej. +-| co najmniej jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej. +- podzbiory są równoliczne. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +- Macierz o wymiarze $p \times p$ zbudowaną z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $p < n$, w której w żadnym wierszu i kolumnie elementy się nie powtarzają nazywamy kwadratem łacińskim. +-| Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ ($p \leq n$, $q < n$) do kwadratu $n \times n$ nie jest możliwe, jeśli dla pewnego elementu $l$ ($1 \leq l \leq n$) liczba jego wystąpień w prostokącie $l(l)$ jest mniejsza od $p + q - n$. +- Rozszerzenie dowolnego prostokąta łacińskiego o dodatkowe kolumny jest zawsze możliwe, należy jedynie w każdej nowej kolumnie umieszczać elementy występujące najrzadziej. +- Rozszerzalny prostokąt łaciński $p \times q$ rozbudowuje się do kwadratu łacińskiego $n \times n$ przez dopisanie najpierw $(n-q)$ wierszy, a następnie $(n-p)$ kolumn. +- Dla $n$ będącego liczbą pierwszą istnieje dokładnie $n-1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$, a dla $n$ będącego potęgą liczby pierwszej co najmniej $n-1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$. + +Zaznacz zdanie prawdziwe: +-Dla dowolnej szachownicy $B$, wartość współczynnika $r_1$ jest równa liczbie zabronionych pól obszaru $B$. +-|Wielomian szachowy dla obszaru $B$ o wymiarze $n \times n$, postaci $r(x) = 1 + r_1 x + r_2 x^2 + \dots + r_n x^n$, nie zawiera niezerowych współczynników $r_k$ dla $k > n$, ponieważ nie można ustawić więcej niż $n$ wzajemnie nieatakujących się wież na szachownicy o wymiarze $n \times n$. +-Każda linia pozioma dzieli dowolną szachownicę $B$ na dwa niezależne obszary, niemające wspólnych wierszy ani kolumn. +-Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C, D$, to wówczas $r(x) = r(C) + x r(D)$. +-W oparciu o wielomian szachowy obszaru $B$ można wyznaczyć wszystkie współczynniki wielomianu szachowego dla dopełnienia tego obszaru $\overline{B}$. + + + +//Sterna 2012 A Sekretna +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +- $k$-wyrazową wariacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru, a liczba takich wariacji wynosi: $\frac{n!}{(n-k)!}$, gdzie $k < n$ lub $k \geq n$. + +- Liczba $k$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami jest równa liczbie $k$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami. + +-| $k$-wyrazowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego odpowiada rozmieszczeniu $k$ rozróżnialnych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach. + +- Liczba $k$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego jest nie większa od liczby $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń. + +- Istnieje $b^b$ różnych $b$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru $a$-elementowego $(a \leq b$ lub $b < a)$. + + +Obiekty kombinatoryczne $D, C, A, B$ i $A, D, C, B$ zostały utworzone ze zbioru $\{A, B, C, D, E\}$ i nie są identyczne (można je odróżnić). Podane obiekty mogą być przykładem: +- 4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego. +- 5-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego. +-| 4-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego. +- Uporządkowanego podziału zbioru na dwa podzbiory. +- 4-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +- Kombinacja $k$-elementowa z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego, to $k$-elementowy podzbiór elementów tego zbioru, w którym kolejność elementów nie jest istotna. + +- Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być przedstawiona jako $k$-elementowa permutacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego. + +-| Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być interpretowana jako rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach. + +- Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być przedstawiona jako permutacja z powtórzeniami dwóch różnych symboli powtarzających się odpowiednio $n$ i $k$ razy. + +- Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego wynosi $\binom{k + n - 1}{n}$ gdzie $k < n$. + + +Do 6 rozróżnialnych pudełek wrzucane są w dowolny sposób 4 rozróżnialne elementy. Każdy sposób wrzucenia elementów do pudełek jest przykładem: + +-| 4-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego. +- 6-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego. +- 4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego. +- 4-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego. +- 6-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +-|Pierwsza zasada indukcji matematycznej może być sformułowana następująco $[S(1) \land (\forall_{k\geq 1} S(k) \Rightarrow S(k+1))] \Rightarrow \forall_{n\geq1} S(n)$, gdzie $S(n)$ oznacza zdanie otwarte, w którym występuje pewna liczba całkowita dodatnia $n$. + +-Pierwsza zasada indukcji może być podana dla dowolnego elementu $n_0$, od którego rozpoczyna się proces indukcyjny i przyjmuje wówczas postać $[S(n_0) \land (S(k) \Rightarrow S(k+1))] \Rightarrow \forall_{n \geq n_{0}} S(n)$. + +-Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$. + +-Dowód warunku początkowego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga pokazania prawdziwości zdania $S(n)$ dla dowolnego elementu $n \geq n_0$. + +-Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla każdej liczby $k \geq n_0$. + +Zasada indukcji matematycznej może być zastosowana do dowodzenia twierdzeń $S(n)$, w którym $n$ należy do zbioru: + +- liczb rzeczywistych dodatnich. +-| liczb naturalnych. +- dowolnego podzbioru zbioru liczb wymiernych. +- liczb całkowitych. +- liczb rzeczywistych. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +-Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o dwóch różnych pierwiastkach $x_1$ i $x_2$ ma postać $a_n = x_1 r_1^n + x_2 r_2^n$. +-|Każda zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + \ldots + c_{n-k} a_{n-k} = 0$, gdzie $c_i$ dla $i = n-k, \ldots, n$ są zupełnie dowolnymi stałymi rzeczywistymi, jest liniową zależnością rekurencyjną rzędu $k$-tego. +-Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_{n+1} + c a_n = 0$ jest dane wzorem $a_n = a_0 b^n$, gdzie $b = -c$, a $c$ oznacza pewną stałą i nie $\in \mathbb{N}$. +-Rozwiązanie zależności rekurencyjnej polega na wyznaczeniu wartości liczbowej elementu ciągu występującego po elementach początkowych. +-Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + c_{n-2} a_{n-2} = 1$, gdzie $c_n, c_{n-1}, c_{n-2}$ są pewnymi stałymi, $c_n \neq 0$ i $c_{n-2} \neq 0$, może być rozwiązana za pomocą metody równania charakterystycznego. + + + +Zależność rekurencyjna $ (a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_3 = 6, 2a_{n} + 3a_{n-4} = 2 $ dla $ n \geq 4 $ jest zależnością rekurencyjną: + +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego jednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu pierwszego niejednorodną. +-| liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego niejednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego jednorodną. +- którą można rozwiązać za pomocą metody równania charakterystycznego. + +Zależność rekurencyjna $ (a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 4, a_{n+1} + 5a_{n-1} - 4a_{n-3} = 0) $ dla $ n \geq 3 $ jest zależnością: + +- która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego. +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym. +- nieliniową. +-| dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia czwartego. +- niejednorodną. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +-|Wyrażenia postaci $x(n, n) = 1, n \geq 0$ oraz $x(n, 0) = 0, n > 0$ są składnikami definicji rekurencyjnej liczb Stirlinga zarówno pierwszego ($x = s$), jak i drugiego rodzaju ($x = S$). + +-Z definicji przyjmuje się, że liczba Stirlinga pierwszego rodzaju $s(n, n) = 1$ dla $n \geq 0$, ponieważ opisywane przez nią rozmieszczenie obiektów w cyklach jest niemożliwe. + +-Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle\left\langle \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\rangle\right\rangle$ oznaczają liczbę dowolnych permutacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego zawierających $k$ wniesień takich, że pomiędzy poszczególnymi wystąpieniami pewnej liczby znajdują się tylko liczby większe od niej. + +-Liczby harmoniczne drugiego rzędu $H_n^{(2)}$ są dyskretnym odpowiednikiem funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$. + +-W oparciu o twierdzenie Zeckendorfa można stworzyć system liczbowy, w którym dowolna liczba rzeczywista dodatnia może być przedstawiona jako $\sum_{k=0}^{m} b_k F_k$, gdzie $b_k \in \{0,1\}$, a $F_k$ oznacza liczbę Fibonacciego. + + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +- Liczby Stirlinga drugiego rodzaju dotyczą podziału zbioru na cykle, a liczby Stirlinga pierwszego rodzaju podziału zbioru na podzbiory. +- Liczby Eulera dotyczą wariacji z powtórzeniami. +-| Cykle jedno- i dwu-elementowe są równoważne zbiorom jedno- i dwu-elementowym. +- Ciąg liczb harmonicznych pierwszego rzędu jest zbieżny. +- Ciąg liczb Fibonacciego jest przykładem zależności rekurencyjnej rzędu trzeciego, ponieważ w zależności rekurencyjnej występują trzy elementy ciągu. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +- Zasada włączania i wyłączania jest uogólnieniem prawa iloczynu dla więcej niż dwóch zbiorów skończonych. + +-| Zasada włączania i wyłączania ma postać: $ \left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| - \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \dots + (-1)^{n-1} |A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n|$ + + +- Zasada włączania i wyłączania umożliwia obliczenie liczności części wspólnej $n$ zbiorów $A_1, A_2, ..., A_n$ w oparciu o liczności sum zbiorów z rodziny $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$. + +- Zasadę włączania i wyłączania stosuje się do obliczenia liczności sumy pewnej liczby zbiorów w sytuacji, gdy nie można wyznaczyć elementów należących do tej sumy. +- Zasadę włączania i wyłączania można zastosować wyłącznie do obliczenia liczności sumy zbiorów, których części wspólne nie są zbiorami pustymi; zasady tej nie można zastosować dla zbiorów rozłącznych. + +Poprawna pełna zasada włączania i wyłączania dla zbioru $N$ elementowego, którego pewne elementy spełniają własności $c_i, (i = 1,2,3)$ ma postać: +- $N(c_1 \vee c_2 \vee c_3) = N(c_1) + N(c_2) + N(c_3)$ +- $N(c_1 c_2 c_3) = N(c_1) + N(c_3) - N(c_1 c_3)$ +- $N(\overline{c_1} \overline{c_2} \overline{c_3}) = N(c_1) + N(c_2) + N(c_3) - N(c_1 c_2) - N(c_1 c_3) - N(c_2 c_3) + N(c_1 c_2 c_3)$ +-| $N(\overline{c_1} \overline{c_2} \overline{c_3}) = N - N(c_1) - N(c_2) - N(c_3) + N(c_1 c_2) + N(c_1 c_3) + N(c_2 c_3) - N(c_1 c_2 c_3)$ +- $N(c_1 c_2 c_3) = N - N(c_1) - N(c_2) - N(c_3) + N(c_1 c_2) + N(c_1 c_3) + N(c_2 c_3)$ + +Zaznacz zdanie prawdziwe: +- Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to co najwyżej jeden z tych podzbiorów zawiera $\lceil \frac{|S|}{k} \rceil$ elementów lub więcej. +- Zasada szufladkowa Dirichleta wynika z obserwacji, że jeśli $m$ przedmiotów umieszcza się w zupełnie dowolny sposób w $n$ szufladkach i $m > n$, to żadna szufladka nie będzie pusta. +- „Klasyczna” zasada szufladkowa dotyczy podziału zbioru $S$ na dwa zbiory, a uogólniona zasada szufladkowa dotyczy podziału na dowolną liczbę zbiorów. +-| Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ podzbiorów $A_1, A_2, ..., A_k$, takich że każdy element $S$ należy do co najmniej $p$ spośród tych podzbiorów, to średnia liczność zbiorów $A_i$ wynosi co najmniej $\frac{p |S|}{k}$. +- Z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ podzbiorów $A_1, A_2, ..., A_k$, takich że każdy element $S$ należy do dokładnie $t$ spośród tych podzbiorów, to średnia liczność zbiorów $A_i$ wynosi dokładnie $\frac{k |S|}{t}$. + +Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4$ będących podzbiorami zbioru 8-elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do co najmniej 3 podzbiorów wynosi: +- co najwyżej 6. +- dokładnie 6. +- co najwyżej 3. +- co najmniej 8. +-| co najmniej 6. + +Zaznacz zdanie prawdziwe. + +-| Macierz o wymiarze $p \times p$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, ..., n\}$, gdzie $p < n$, w której w żadnym wierszu i kolumnie elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim. +- Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest możliwe tylko wówczas, jeśli liczba wystąpień poszczególnych elementów spełnia warunek $l(i) > p + q - n$ dla każdego $i = 1, ..., n$. +- Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest zawsze możliwe i wymaga wyznaczenia transwersali rodziny zbiorów zawierających elementy nie występujące dotychczas odpowiednio w poszczególnych wierszach i kolumnach. +- Prostokąt łaciński $p \times q$ rozbudowuje się do kwadratu łacińskiego $n \times n$ przez dopisanie najpierw $(n - p)$ wierszy zbudowanych z dowolnej transwersali, a następnie $(n - q)$ kolumn zbudowanych ze specyficznej transwersali zawierającej zbiór $P$. +- Dla $n$ będącego liczbą pierwszą lub potęgą liczby pierwszej istnieje co najwyżej $n - 1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$, a dla pozostałych wartości $n$ istnieje dokładnie $n - 1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$. + +Zaznacz obiekt nie będący prostokątem łacińskim ze zbioru $\{1,\ldots,6\}$: +- $[1, 2, 3, 4, 5, 6]$ +- $\begin{bmatrix}2 & 1 \\3 & 4 \\5 & 6 \\1 & 2 \\6 & 3 \\4 & 5\end{bmatrix}$ +-$\begin{bmatrix}3 & 1 & 2 \\2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 6\end{bmatrix}$ +-|$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 6 \\4 & 3 & 2 & 1 & 6 & 5 \\3 & 6 & 5 & 1 & 3 & 4\end{bmatrix}$ +-|$\begin{bmatrix}6 & 5 & 4 & 3 \\3 & 1 & 5 & 1 \\1 & 3 & 2 & 6 \\2 & 3 & 5 & 1\end{bmatrix}$ + +Zaznacz zdanie prawdziwe. +-| Wielomian szachowy $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$, to funkcja tworząca, której współczynniki $r_k$ oznaczają liczbę możliwych rozmieszczeń $k$ wzajemnie nie atakujących się wież na szachownicy $B$ o wymiarze $n \times n$. +- W wielomianie szachowym dla dowolnej szachownicy o wymiarze $n \times n$ mogą wystąpić niezerowe współczynniki $r_k$ dla $k > n$. +- Każdą szachownicę $B$ można zdekomponować na dwie inne szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ zabroniona jest kolumna, a w $B^2$ wiersz, zawierające pewne dowolnie wybrane pole $s$. +- Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $B^1$ i $B^2$, to wówczas $r_B(x)$ jest sumą wielomianów szachowych obszarów $B^1$ i $B^2$. +- Dekompzycję wielomianów stosuje się jedynie wówczas, gdy nie wyznacza się pełnego wielomianu szachowego pewnego obszaru o wymiarze $n \times n$, ale oblicza się jedynie pojedynczy współczynnik tego wielomianu $r_k$ dla $k < n$. + +Zaznacz funkcję tworzącą, która może być wielomianem szachowym pewnej szachownicy o wymiarze 5×5: + +-| $r_B(x) = 1 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$ +- $r_B(x) = 0 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$ +- $r_B(x) = 1 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^6$ +- $r_B(x) = 2 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$ +- $r_B(x) = 1 + 27x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$ + +//Formanowicz 2024-2025 +Niech $A, B$ i $C$ będą podzbiorami pewnej przestrzeni $U$. Wśród poniższych zdań wskaż prawa algebry zbiorów. + +-$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ + +-|$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$ + +-|$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ + +-$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ + +-$\overline{A \cup B} = \overline{A \cap B}$ + + +Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. + +- Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +- Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i przeciwzwrotną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +- Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +- Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +- Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania będące definicjami odpowiednich obiektów: +-|Słowem danego alfabetu $\Sigma$ jest dowolny skończony ciąg liter zbioru $\Sigma$. +-|Jeżeli przez $\Sigma^*$ oznaczymy zbiór wszystkich słów zbudowanych z liter alfabetu $\Sigma$, to dowolny podzbiór zbioru $\Sigma^*$ jest językiem nad alfabetem $\Sigma$. +-Językiem nad alfabetem $\Sigma$ jest zbiór potęgowy zbioru $\Sigma$. +-Słowem danego alfabetu $\Sigma$ jest dowolny skończony ciąg liter zbioru $\Sigma$, który zawiera co najwyżej jedno wystąpienie każdego z elementów zbioru $\Sigma$. +-Jeżeli przez $\Sigma^*$ oznaczymy zbiór wszystkich słów zbudowanych z liter alfabetu $\Sigma$, to językiem nad alfabetem $\Sigma$ jest $\Sigma^* \times \Sigma^*$. + +Niech $G=(V,E)$ będzie dowolnym grafem i niech $X,Y \subseteq V$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +-| Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest maksymalnej liczbie rozłącznych ścieżek z $X$ do $Y$. +- Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest minimalnej liczbie rozłącznych ścieżek z $X$ do $Y$. +- Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest liczności zbioru $X$. +- Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest liczności zbioru $Y$. +- Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest $\min{|X|, |Y|}$. + + + + + +//Sterna 2019-2020 +Obiekty $|A, C, D, E|$ i $|B, E, F, F|$ utworzono ze zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$. Kolejność tych obiektów oraz uporządkowanie ich elementów nie są istotne. Obiekty te są przykładem: +- podziału uporządkowanego zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$ ponieważ elementy w obiektach są ustawione alfabetycznie. +- podziału zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$ na dwa podzbiory. +- dwóch 4-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego. +- dwóch 4-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego. +-| dwóch 4-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Wszystkie $k$-elementowe kombinacje bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru, dla $k=0, \ldots, n$, mogą być wygenerowane za pomocą generacji ze wszystkich liczb binarnych z zakresu od $1$ do $2^n$. +- Każde rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach odpowiada $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +-| Z każdej $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego można utworzyć $k!$ różnych $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +- Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru wynosi $\binom{n}{k}$ gdzie $n \leq k$ lub $k < n$ +- Każda $k$-elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewnemu podziałowi tego zbioru na $k$ podzbiorów. + +Do 7 rozróżnialnych pudełek można wrzucić (w dowolny sposób) 4 identyczne elementy na +- $\binom{7}{4}$ sposobów. +- $7^4$ sposobów. +-| $\binom{7+4-1}{4}$ sposobów. +- $4^7$ sposobów. +- $\frac{7!}{(7-4)!}$ sposobów. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- $k$-wyrazową permutacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru. +- Permutacja z powtórzeniami może być interpretowana jako dowolne rozmieszczenie $n$ rozróżnialnych obiektów w $k$ rozróżnialnych pudełkach. +- $k$-wyrazowe permutacje z powtórzeniami są równoważne $k$-wyrazowym wariacjom z powtórzeniami. +-| Liczba $k$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami jest nie większa niż liczba $k$-wyrazowych permutacji bez powtórzeń. +- W $n$-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru $\{a_1, \dots, a_n\}$, w której element $a_i$ powtarza się $n_i$ razy, dla $i = 1, \dots, k$, zachodzi: $\sum_{i=1}^{k}{n_i=n!}$. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_{n+1} + ca_n = 0$ jest dane wzorem $a_n = ca_0^n$, gdzie $c$ oznacza pewną stałą i $n \in \mathbb{N}$. +- Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o jednym pierwiastku podwójnym ma postać $a_n = c_1 r^n + c_2 n r^n$, gdzie wartości stałych $c_1$ i $c_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu. +-| Rozwiązanie problemu wież z Hanoi, $T_n = 2T_{n-1} + 1, n > 0, T_0 = 0$, jest przykładem niejednorodnej liniowej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami. +- Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + \dots + c_k a_k = 0$, gdzie $c_i$ dla $i = n, \dots, k$ są pewnymi stałymi rzeczywistymi, $c_n \neq 0$ i $c_k \neq 0$ nazywamy liniową jednorodną zależnością rekurencyjną rzędu k-tego ze stałymi współczynnikami. +- Każdy pierwiastek pojedynczy $r$ równania charakterystycznego wprowadza do rozwiązania liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej ze stałymi współczynnikami rzędu $k \geq 2$ czynnik $rc^n$, gdzie $c$ jest pewną stałą, którą można wyznaczyć w oparciu o początkowe wyrazy ciągu. + +Zależność rekurencyjna $\{a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_{n+1}+3a_{n-2} = 3n \text{ dla } n \geq 2\}$ jest zależnością rekurencyjną liniową ze stałymi współczynnikami: +- rzędu drugiego jednorodną, +- rzędu drugiego niejednorodną, +- rzędu trzeciego jednorodną, +-| rzędu trzeciego niejednorodną, +- rzędu $(n+1)$-szego jednorodną. + +Zależność rekurencyjna $\{a_0 = 1, a_1 = 2, na_n = 3a_{n-1}\cdot a_{n-2}=0 \text{ dla } n \geq 2\}$ jest zależnością: +- niejednorodną, +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym, +- o stałych współczynnikach, +-| która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego, +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla pewnego $n_0 \in \mathbb{Z}^{+}$ ma postać: $[S(n_0) \land [\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k+1)]]] \implies \forall_{n \geq 1} S(n)$. +- Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego, dowolnego ze zdań poprzedzających. +-| Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$ ma postać: $[(\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k + 1)]) \land S(1)] \implies \forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$. +- Zasada indukcji matematycznej może być wykorzystana do dowodzenia twierdzeń dotyczących dowolnych liczb dodatnich. +- Jeśli pewne twierdzenie $\forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \geq 1$, to może ono być udowodnione z wykorzystaniem drugiej zasady indukcji matematycznej. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Pierwsza i druga zasada indukcji matematycznej są sobie równoważne tylko dla pewnego rodzaju twierdzeń. +- Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$. +- Dowód pierwszej zasady indukcji matematycznej nie dowodzi poprawności drugiej zasady indukcji matematycznej, ponieważ jest ona inaczej sformułowana. +- Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego ze zdań poprzedzających. +-| Drugą zasadę indukcji matematycznej można zastosować do dowodzenia twierdzeń dotyczących liczb całkowitych dodatnich, w których prawdziwość zdania $S(n)$ dla $n=k+1$ wynika z prawdziwości kilku zdań poprzedzających. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Definicja rekurencyjna liczb Stirlinga drugiego rodzaju zawiera zależność postaci: $S(n, k) = S(n-1, k) + k S(n-1, k-1)$, a definicja rekurencyjna liczb Stirlinga pierwszego rodzaju: $s(n, k) = s(n-1, k) + (n-1) s(n-1, k-1)$ (gdzie $n > k > 0$). +-| Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$ niepustych rozłącznych podzbiorów są nie większe niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ cyklach. +- Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle \left\langle \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\rangle \right\rangle$ oznaczają liczbę permutacji z powtórzeniami multizbioru $\{1, 1, 2, 2, \dots, k, k\}$ zawierających $n$ wniesień. +- Liczby harmoniczne pierwszego rzędu tworzą ciąg zbieżny do pewnej granicy, ponieważ zgodnie z definicją rekurencyjną każda kolejna liczba $H_{n+1}$ powstaje z poprzedniej liczby $H_{n}$ przez dodanie ułamka $\frac{1}{(n+1)}$. +- W systemie liczbowym Fibonacciego, zbudowanym w oparciu o twierdzenie Zeckendorfa, do jednoznacznej reprezentacji liczb całkowitych dodatnich wykorzystuje się wszystkie liczby Fibonacciego $F_k$, dla $k \geq 0$. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- W ciągu liczby Stirlinga drugiego rodzaju mogą pojawić się liczby nie będące liczbami całkowitymi. +-| Każdej $n$-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewien układ cykli i każdemu układowi cykli odpowiada pewna $n$-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +- Liczby harmoniczne rzędu $r$, dla $r > 1$, tworzą ciąg rozbieżny. +- Liczby Fibonacciego są liczbami opisanymi zależnością rekurencyjną rzędu trzeciego, ponieważ w definicji występują trzy elementy ciągu. +- Liczby Eulera związane są z liczbą cykli Eulera w grafie. + +Pełna poprawna zasada włączania i wyłączania dla 4 zbiorów jest formułą składającą się z: +- 4 składników, ponieważ są 4 zbiory. +- 16 składników, ponieważ należy sprawdzić część wspólną każdego zbioru z każdym. +-| 15 składników. +- 8 składników. +- nieznanej liczby składników, ponieważ ich liczba zależy od liczności tych zbiorów. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Zasada włączania i wyłączania mówi, że liczba elementów pewnego zbioru $S$, $|S| = N$, które nie spełniają żadnego z warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, jest równa $N = N - N(c_1) - N(c_2) - ... - N(c_t)$, gdzie $N(c_i)$ oznacza liczbę elementów $S$ spełniających warunek $c_i$. +- Zasada włączania i wyłączania w postaci alternatywnej dotyczy pewnego zbioru $S$, dla którego zdefiniowane są warunki $c_i$, $1 \leq i \leq t$, które muszą być spełnione przez wszystkie elementy zbioru $S$. +-| Dla zbioru $S$ i warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, spełnionych przez pewne elementy ze zbioru $S$, liczba elementów, które nie spełniają żadnego z tych warunków wynosi: $N(\overline{c_1} \overline{c_2} ... \overline{c_t}) = |S| - \sum_{1 \leq i \leq t} N(c_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq t} N(c_i c_j) - \sum_{1 \leq i < j < k \leq t} N(c_i c_j c_k) + \dots + (-1)^t N(c_1 c_2 ... c_t)$. +- Symbol $N(c_i c_j)$ występujący w zasadzie włączania i wyłączania oznacza liczbę elementów ze zbioru $S$ spełniających warunki $c_i$ i $c_j$ i równocześnie nie spełniających pozostałych warunków $c_k$, $(1 \leq i, j, k \leq t, k \neq i, k \neq j)$. +- Dowód zasady włączania i wyłączania w postaci alternatywnej jest oparty o prawa teorii mnogości. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to każdy z tych podzbiorów zawiera $\lceil |S| / k \rceil$ elementów lub więcej. +- Dowód zasady szufladkowej Dirichleta wykorzystuje pojęcie uporządkowanego podziału zbioru. +- „Klasyczna” zasada szufladkowa Dirichleta w żaden sposób nie wynika z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta, ponieważ dotyczy zbiorów o odmiennych własnościach. +-| Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to średnia liczność tych zbiorów wynosi $\frac{|S|}{k}$. +- Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, ..., A_k$ będących rozłącznymi podzbiorami pewnego skończonego zbioru $S$. + +Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ będących podzbiorami zbioru 18-elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do dokładnie 3 podzbiorów wynosi: +- nie może być określona. +-| dokładnie 9. +- co najwyżej 9. +- co najmniej 9. +- dokładnie 3. + +Zaznacz zdania prawdziwe. +-| Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $n \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest zawsze możliwe i wymaga wyznaczenia transwersali rodziny zbiorów zawierających elementy nie występujące dotychczas w poszczególnych wierszach. +- Każda macierz o wymiarze $p \times q$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $\min(p, q) < n$, w której w żadnym wierszu elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim. +- Rozszerzenie dowolnego prostokąta łacińskiego o dodatkowe kolumny jest zawsze możliwe, należy jedynie w każdej nowej kolumnie umieszczać elementy występujące najrzadziej. +- Pewne prostokąty łacińskie $p \times n$, w których liczba wystąpień niektórych elementów jest zbyt mała, nie mogą być rozszerzone do kwadratu łacińskiego $n \times n$. +- Kwadratem grecko-łacińskim, czyli kwadratem Eulera, nazywamy złożenie dwóch dowolnych kwadratów łacińskich o takim samym rozmiarze. + +Dany jest poniższy prostokąt łaciński $L$ ze zbioru $\{1,6\}$. Zaznacz kolumnę, której $\textbf{nie można}$ dopisać do tego prostokąta, jeśli ma być nadal rozszerzalny do kwadratu łacińskiego $6 \times 6$: $L =\begin{pmatrix}2 & 3 & 4 & 6 \\4 & 5 & 3 & 1 \\3 & 4 & 6 & 2 \\5 & 6 & 1 & 4\end{pmatrix}$ +- $\begin{matrix}5 \\2 \\1 \\3\end{matrix}$ +- $\begin{matrix}1 \\2 \\5 \\3\end{matrix}$ +-| $\begin{matrix}5 \\6 \\1 \\3\end{matrix}$ +- $\begin{matrix}5 \\6 \\1 \\2\end{matrix}$ +- $\begin{matrix}1 \\6 \\5 \\2\end{matrix}$ + +Zaznacz zdania prawdziwe. +- Wielomian szachowy $r_f(x) = 1 + r_1 x + r_2 x^2 + ... + r_k x^k + ... + r_n x^n$ to funkcja, której wartość oznacza liczbę możliwych rozmieszczeń $x$ wzajemnie atakujących się wież na szachownicy o wymiarze $n \times n$. +- Szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C$ i $D$, to wówczas $r_f(x) = r_C(x) + x r_D(x)$. +- Dekompzycja wielomianów szachowych jest możliwa tylko i wyłącznie wówczas, jeśli daną szachownicę można podzielić na dwa rozłączne obszary nie mające wspólnych wierszy ani kolumn. +-| W dowolnym wielomianie szachowym dla szachownicy o wymiarze $n \times n$ wszystkie współczynniki $r_k$ stojące przy $x^k$ dla $k > n$ przyjmują wartość zerową. +- Szachownicę $B$ można zdekomponować, poprzez wybór pewnego pola dopuszczalnego $s$, na dwie szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ niedostępny jest wiersz, a w $B^2$ niedostępna jest kolumna zawierająca pole $s$. + +Zaznacz funkcję tworzącą, która $\textbf{może być}$ wielomianem szachowym $\textbf{dopełnienia}$ podanej szachownicy $B$: +- $r_B(x) = 1 + 15x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$ +-| $r_B(x) = 1 + 10x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$ +- $r_B(x) = 1 + 15x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^6$ +- $r_B(x) = 1 + 10x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^6$ +- $r_B(x) = 1 + 25x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$ + + + +//Formanowicz 2019-2020 +Wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $Q$ ma wartość logiczną prawdy zawsze wtedy, gdy $P$ ma wartość logiczną prawdy. +- Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $P$ ma wartość logiczną prawdy zawsze wtedy, gdy $Q$ ma wartość logiczną prawdy. +-| Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli mają takie same wartości logiczne dla wszystkich możliwych sposobów przypisania wartości logicznych ich zmiennym zdaniowym. +- Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $Q$ ma wartość logiczną fałszu zawsze wtedy, gdy zdanie $P$ ma wartość logiczną fałszu. +- Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $P$ i $Q$ mają przeciwne wartości logiczne dla wszystkich możliwych sposobów przypisania wartości logicznych ich zmiennym zdaniowym. + +Wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$. +-| Jeżeli zdanie złożone $P$ jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie również tautologią. +- Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$. +- Jeżeli zdanie złożone $P$ jest zdaniem sprzecznym i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie tautologią. +-| Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Leftrightarrow R$ i w $P$ zastąpimy jedno lub więcej wystąpień $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$. + +//Wskaż prawa algebry zbiorów: +//-| $A \cap (A \cup B) = A$ +//- $A \cup (A \cap B) = B$ +//- $A \cup (A \cap B) = \overline{A}$ +//-| $(A \cap B) \cup C = (A \cap C) \cup (B \cup C)$ +//- $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ + +Wskaż definicję relacji równoważności: +- Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją przeciwzwrotną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności. +-| Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności. +- Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją zwrotną, antysymetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności. +- Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją przeciwzwrotną, antysymetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności. +- Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest spójną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności. + +Wskaż zdania będące definicjami izomorfizmu grafów: +- Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_2$. +- Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_1$. +-| Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_2$. +- Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \notin E_2$. +- Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{f(x), f(y)\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_2$. + +Niech $G=(V_1, V_2, E)$ będzie grafem dwudzielnym. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +-Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór złożony z $|V_2|$ krawędzi, które nie mają wspólnych wierzchołków końcowych. +-|Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór złożony z $|V_1|$ krawędzi, które nie mają wspólnych wierzchołków końcowych. +-Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór z tych krawędzi, które oba wierzchołki końcowe mają w zbiorze $V_1$. +-Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór z tych krawędzi, które oba wierzchołki końcowe mają w zbiorze $V_2$. +-Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest podzbiór zbioru $V_1$ zawierający wszystkie wierzchołki o stopniu parzystym. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +-|Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\gcd(a,b)$ dzieli $c$. +-Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c$ dzieli $\gcd(a,b)$. +-Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ są liczbami pierwszymi. +-Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c$ dzieli $\operatorname{lcm}(a,b)$. +-Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{lcm}(a,b)$ dzieli $c$. + +Niech $H$ będzie grafem sprzężonym pewnego grafu $G$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +-W grafie $G$ istnieje ścieżka Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje droga Eulera. +-|W grafie $G$ istnieje droga Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje ścieżka Hamiltona. +-W grafie $G$ istnieje droga Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje obwód Eulera. +-W grafie $G$ istnieje ścieżka Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje cykl Hamiltona. +-W grafie $G$ istnieje cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje ścieżka Hamiltona. + +Niech $G=(V_1,V_2,E)$ będzie grafem dwudzielnym. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +-|Minimalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest maksymalnej liczbie krawędzi w skojarzeniu. +-Minimalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest minimalnej liczbie krawędzi w skojarzeniu. +-Minimalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest liczbie krawędzi grafu $G$. +-Maksymalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest minimalnej liczbie wierzchołków w skojarzeniu. +-Maksymalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest maksymalnej liczbie wierzchołków w skojarzeniu. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- $1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+...$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ +-| $1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+...$jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ +-| $x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ +- $x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ +- $x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ + +//Formanowicz 2021-2022 + +Funkcję $e^x$ można przedstawić w postaci: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- $e^x$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \frac{1}{4!}, \dots$. +- $e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots$. +-| $e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \frac{1}{4!}, \dots$. +- $e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, \dots$. +-| $e^x$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots$. + +Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe: +- Zdaniem odwrotnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $p \rightarrow \neg q$. +-| Zdaniem przeciwstawnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg q \rightarrow \neg p$. +- Zdanie złożone jest tautologią, jeżeli jest ono fałszywe niezależnie od wartości logicznych jego zdań składowych. +- Zdaniem odwrotnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg p \rightarrow \neg q$. +- Zdaniem przeciwstawnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg q \rightarrow p$. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- $5$ i $10$ są liczbami względnie pierwszymi. +-| $2$ i $3$ są liczbami względnie pierwszymi. +- $1$ jest najmniejszą liczbą pierwszą. +-| $2$ jest najmniejszą liczbą pierwszą. +- $0$ jest najmniejszą liczbą pierwszą. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{A_1, A_2, \dots, A_n\}$. +- Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \geq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$. +-| Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$. +-| Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \leq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$. +- Transwersalą rodziny zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest zbiór $Y = (A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) \setminus (A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n)$, którego elementy mogą zostać zapisane w pewnym porządku. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(n-k,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie. +-| Jeżeli graf $G$ jest etykietowalny za pomocą etykiet o długości $k>2$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności, to jest on również etykietowalny za pomocą etykiet o długości $l=2, \dots, k-1$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności. +-| Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(nk,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie. +- Grafu niespójnego nie można zaetykietować. +- Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(k,nk)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = 2$. +-| Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli $\gcd(a, b) = 1$. +- Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli $\gcd(a, b) = 0$. +-| Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = 1$. +- Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = \sqrt{2}$.d + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe: +- Funkcja $f(x) = a_0 x_0 + a_1 x_1 + a_2 x_2^2 + a_3 x_3^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x_i^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1 x_1, a_2 x_2, a_3 x_3, \dots$. +-| Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +- Funkcja $f(x) = \frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_1} + \frac{2! x^2}{a_2} + \frac{3! x^3}{a_3} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i! x^i}{a_i}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +- Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +-| Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + \frac{a_2 x^2}{2!} + \frac{a_3 x^3}{3!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i x^i}{i!}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. + +Wybierz wszystkie poprawne: +- Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. +- Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i przeciwzwrotną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. +- Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. +-| Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, antysymetryczną, zwrotną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. +- Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$. + +Wybierz wszystkie poprawne: +- Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli występuje w nim parzysta liczba rozłącznych ścieżek Hamiltona. +- Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli $V=V_1 \cup V_2$, $V_1 \subseteq V_2$ oraz dla każdej krawędzi $\{x,y\} \in E$ zachodzi $x \in V_1 \land y \in V_2$. +-| Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli jego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne podzbiory w taki sposób, że żadna krawędź występująca w tym grafie nie jest incydentna z dwoma wierzchołkami należącymi do tego samego podzbioru. +- Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli występuje w nim parzysta liczba rozłącznych cykli. +-| Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli $V=V_1 \cup V_2$, $V_1 \cap V_2 = \emptyset$ oraz dla każdej krawędzi $\{x,y\} \in E$ zachodzi $x \in V_1 \land y \in V_2$. + +Wybierz wszystkie poprawne: +- Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to największy podgraf pełny tego grafu. +- Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to jego drzewo rozpinające. +- Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to ścieżka przechodząca przez wszystkie jego wierzchołki. +- Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to droga przechodząca przez wszystkie jego krawędzie. +-| Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to zbiór krawędzi, z których żadne dwie nie mają wspólnego wierzchołka końcowego. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania będące definicjami drzewa. +- Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli posiada korzeń. +- Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i $|V|=|E|-1$. +-| Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i jeżeli $x,y \in V$ oraz $\{x,y\} \notin E$, to dodanie do $G$ krawędzi $\{x,y\}$ spowoduje powstanie grafu $G'$ zawierającego dokładnie jeden cykl. +-| Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i $|V|=|E|+1$. +- Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli jest spójny i $|V|=|E|-1$. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +- 1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^-(x) \cap N^-(y) \neq \emptyset$. +-| 1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^+(x) = N^+(y)$. +- 1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow (N^+(x) = N^+(y) \land N^-(x) \cap N^-(y) = \emptyset)$. +- 1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^-(x) \cap N^-(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset$. +- 1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^-(x) \cap N^-(y) = \emptyset$. + +Niech $G=(V,E)$ będzie grafem nieskierowanym bez wierzchołków izolowanych. Wśród poniższych zdań wskaż zdania prawdziwe. +- $G$ zawiera cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma nieparzysty stopień. +- $G$ zawiera drogę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i zawiera dokładnie dwa wierzchołki o stopniu nieparzystym. +-| $G$ zawiera obwód Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma parzysty stopień. +- $G$ zawiera drogę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i zawiera dokładnie dwa wierzchołki o stopniu parzystym. +- $G$ zawiera cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma parzysty stopień. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +-| $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$. +- $x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0, 1, 2, 3, 4, \dots$. +- $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0, 1, 2, 3, 4, \dots$. +- $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$. +- $x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$. + + +Wybierz wszystkie poprawne: +-| Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest maksymalnej wartości przepływu z $x$ do $y$. +- Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci maksymalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest minimalnej wartości przepływu z $x$ do $y$. +- Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest minimalnej wartości przepływu z $x$ do $y$. +- Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci maksymalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest maksymalnej wartości przepływu z $x$ do $y$. +- Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest $out(x)$. + +Wybierz wszystkie poprawne: +- Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma może być większa niż $\binom{n}{2}$. +- Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma może być mniejsza niż $\binom{n}{2}$. +- Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to dla pewnego $r$, takiego że $2 \leq r \leq n$, można wybrać $r$ spośród tych liczb w taki sposób, że suma wybranych liczb jest mniejsza niż $\binom{n}{2}$. +-| Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to dla żadnego $r$, takiego że $2 \leq r \leq n$, nie można wybrać $r$ spośród tych liczb w taki sposób, że suma wybranych liczb jest mniejsza niż $\binom{r}{2}$. +-| Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma nie może być ani mniejsza, ani większa niż $\binom{n}{2}$. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +- W grafie de Bruijna $B(d,k)$ może wystąpić co najwyżej $k$ etykiet o długości $d$. +- W grafie de Bruijna $B(d,k)$ może wystąpić co najwyżej $d$ etykiet o długości $k$. +- Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $k^d$ łuków. +- Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $k^d$ wierzchołków. +-| Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $d^k$ wierzchołków. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +- Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +- Funkcja $f(x) = a_0^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0 x_0, a_1 x_1, a_2 x_2, a_3 x_3, \dots$. +- Funkcja $f(x) = \frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_1} + \frac{2! x^2}{a_2} + \frac{3! x^3}{a_3} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i! x^i}{a_i}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +-| Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. +-| Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + \frac{a_2 x^2}{2!} + \frac{a_3 x^3}{3!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i x^i}{i!}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$. + +Wśród poniższych zdań wskaż definicje odpowiednich relacji. +- Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy spójną wtedy i tylko wtedy, gdy warunki $\langle x, y \rangle \in \rho$ i $\langle y, z \rangle \in \rho$ implikują warunek $\langle x, z \rangle \in \rho$ dla każdych trzech elementów $x, y, z$ zbioru $X$. +-| Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy symetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy z warunku $\langle x, y \rangle \in \rho$ wynika warunek $\langle y, x \rangle \in \rho$ dla każdego $x, y \in X$. +- Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy zwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ spełniony jest warunek $\langle x, x \rangle \notin \rho$. +-| Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy antysymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy warunki $\langle x, y \rangle \in \rho$ i $\langle y, x \rangle \in \rho$ pociągają za sobą warunek $x = y$ dla każdej pary $x, y$ elementów zbioru $X$. +- Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy przeciwzwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ spełniony jest warunek $\langle x, x \rangle \in \rho$. + +Wśród poniższych zdań wskaż definicje odpowiednich funkcji. +- Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $Y$ na zbiór $X$. +-| Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $X$ na zbiór $Y$. +- Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = x$. +-| Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y$. +- Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y^{-1}$. + +Niech $a, b, c \in \mathbb{Z}$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +-| $[(a|b) \land (a|c)] \Rightarrow a|(bx + cy)$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{Z}$. +- $a|b \Rightarrow a|x^b$ dla każdego $x \in \mathbb{Z}$. +- $[(a|b) \land (a|c)] \Rightarrow (bx + cy)|a$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{Z}$. +- $[(a|b) \land (b|c)] \Rightarrow c|a$. +-| Jeżeli $x = y + z$ dla pewnych $x, y, z \in \mathbb{Z}$ oraz $a$ dzieli dwie z trzech liczb $x, y, z$, to $a$ dzieli również trzecią z tych liczb. + + +Wybierz wszystkie poprawne: +-| Turniej z udziałem $n$ graczy oznaczonych kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi $1, 2, \dots, n$ jest zbiorem $\binom{n}{2}$ uporządkowanych par zawodników, przy czym dla $1 \leq i < j \leq n$ w turnieju występuje albo para $(i, j)$ albo para $(j, i)$. +- Turniej z udziałem $n$ graczy oznaczonych kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi $1, 2, \dots, n$ jest posortowaną listą zawodników. +- Turniej z udziałem $n$ graczy oznaczonych kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi $1, 2, \dots, n$ jest zbiorem $\binom{n}{2}$ nieuporządkowanych par zawodników. +- Turniej z udziałem $n$ graczy oznaczonych kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi $1, 2, \dots, n$ jest zbiorem $\binom{n}{3}$ nieuporządkowanych trójek zawodników. +- Turniej z udziałem $n$ graczy oznaczonych kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi $1, 2, \dots, n$ jest zbiorem wszystkich zawodników. + +Wśród poniższych zdań wskaż reguły podstawiania. +- Jeżeli zdanie złożone $P$ jest zdaniem sprzecznym i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie tautologią. +-| Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Leftrightarrow R$ i jeśli w $P$ zastąpimy jedno lub więcej wystąpień $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$. +- Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $R \Rightarrow Q$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$. +- Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$. +-| Jeżeli zdanie złożone $P$ jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie również tautologią. + +Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania będące definicjami odpowiednich zbiorów. +-| Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $O(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $O(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq f(n) \leq c g(n)$ dla wszystkich $n \geq n_0 \}$. +- Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $O(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $O(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq f(n) \leq c g(n)$ dla wszystkich $n \leq n_0 \}$. +-| Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $\Omega(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $\Omega(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq c g(n) \leq f(n)$ dla wszystkich $n \geq n_0 \}$. +- Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $\Omega(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $\Omega(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq f(n) \leq c g(n)$ dla wszystkich $n \geq n_0 \}$. +- Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $\Omega(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $\Omega(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq c g(n) \leq f(n)$ dla wszystkich $n \leq n_0 \}$. + +Wśród poniższych zdań wskaż zdania prawdziwe. +- Dla każdego drzewa $G = (V, E)$ zachodzi $|V| = |E| - 1$. +-| Graf nieskierowany $G = (V, E)$ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy posiada drzewo rozpinające. +- W drzewie $G = (V, E)$ między każdą parą wierzchołków $x, y \in V$ istnieją co najmniej dwie ścieżki. +-| W drzewie $G = (V, E)$ między każdą parą wierzchołków $x, y \in V$ istnieje dokładnie jedna ścieżka. +- Drzewo $G = (V, E)$ takie, że $|V| \geq 2$, ma co najmniej trzy wierzchołki o stopniu równym 1. + +Niech dana będzie przestrzeń $U$ oraz pewien jej podzbiór $A$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe. +-| Zbiór potęgowy zbioru $A$ jest to zbiór wszystkich podzbiorów zbioru $A$. +- Dopełnienie zbioru $A$ jest to zbiór $A \setminus U$. +- Dopełnienie zbioru $A$ jest to zbiór $A \cup U$. +- Dopełnienie zbioru $A$ jest to zbiór $A \cap U$. +- Zbiór potęgowy zbioru $A$ jest to zbiór zawierający te elementy przestrzeni $U$, które nie należą do $A$. + +Niech $p$ i $q$ będą zdaniami logicznymi prostymi, $T_0$ niech będzie dowolną tautologią, a $F_0$ dowolnym zdaniem sprzecznym. Wśród poniższych par zdań wskaż zdania logicznie równoważne. +-| $p \rightarrow q, \neg p \lor q$ +- $p \land F_0, p$ +- $p \lor T_0, p$ +-| $p \land F_0, F_0$ +- $p \land T_0, \neg p$ + +Niech $A, B$ i $C$ będą podzbiorami pewnej przestrzeni $U$. Wśród poniższych zdań wskaż prawa algebry zbiorów. + +- $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ +- $(A \cap B) \cap C = A \cup (B \cap C)$ +-| $A \cup (A \cap B) = A$ +- $A \cap (A \cup B) = \overline{A}$ +-| $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ + + +// Sterna 2023-2024 niestacjonarne + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Wszystkie $k$-elementowe kombinacje bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru, dla $k = 0, \ldots, n$, mogą być wygenerowane za pomocą generacji wszystkich liczb binarnych z zakresu od $1$ do $2^n$. +- Każde rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach odpowiada $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +-| Z każdej $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego można utworzyć $k!$ różnych $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +- Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego wynosi $\binom{n}{k}$, gdzie $n \leq k < n$. +- Każda $k$-elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewnemu podziałowi tego zbioru na $k$ podzbiorów. + +Obiekty $|A, C, D|$ i $|B, E, F|$ utworzono ze zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$. Kolejność tych obiektów oraz uporządkowanie ich elementów nie jest istotna. Obiekty te są przykładem: +- podziału uporządkowanego zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$, ponieważ elementy w obiektach są ustawione alfabetycznie. +-| podziału zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$ na dwa podzbiory. +- dwóch 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego. +- dwóch 3-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego. +- dwóch 3-elementowych permutacji z powtórzeniami, w których poszczególne elementy występują tylko jeden raz. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- $k$-wyrazową permutacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru. +- Permutacja z powtórzeniami może być interpretowana jako dowolne rozmieszczenie $n$ rozróżnialnych obiektów w $k$ rozróżnialnych pudełkach. +- $k$-wyrazowe permutacje z powtórzeniami są równoważne $k$-wyrazowym wariacjom z powtórzeniami +-| Liczba $n$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami jest nie większa niż liczba $n$-wyrazowych permutacji bez powtórzeń. +- W $n$-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru $\{a_1, \ldots, a_n\}$, w której element $a_i$ powtarza się $n_i$ razy, dla $i = 1, \ldots, k$, zachodzi: $\sum_{i=1}^{k} n_i = n!$. + +3 identyczne elementy mogą być wrzucone w dowolny sposób do 6 rozróżnialnych pudełek na +- $\binom{6}{3}$ sposobów. +- $6^3$ sposobów. +- $3^6$ sposobów. +-| $\binom{6+3-1}{3}$ sposobów. +- $\frac{6!}{3!}$ sposobów. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla pewnego $n_0 \in \mathbb{Z}^{+}$ ma postać: $[S(n_0) \land [\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k+1)]]] \implies \forall_{n \geq 1} S(n)$. +- Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego, dowolnego ze zdań poprzedzających. +-| Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$ ma postać: $[(\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k + 1)]) \land S(1)] \implies \forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$. +- Zasada indukcji matematycznej może być wykorzystana do dowodzenia twierdzeń dotyczących dowolnych liczb dodatnich. +- Jeśli pewne twierdzenie $\forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \geq 1$, to może ono być udowodnione z wykorzystaniem drugiej zasady indukcji matematycznej. + +Pierwsza i druga zasada indukcji matematycznej: +-| są równoważne. +- nie są równoważne. +- są równoważne jedynie dla twierdzeń dotyczących liczb naturalnych. +- mogą być zastosowane do dowodzenia twierdzeń dotyczących liczb rzeczywistych dodatnich. +- są technikami dowodzenia twierdzeń dotyczących wyłącznie zależności rekurencyjnych jednorodnych. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +-Druga zasada indukcji matematycznej dla dowolnych $n_0, n_1 \in \mathbb{Z}^+$, $n_0 \leq n_1$, ma postać: $[[S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(n_1)] \land [\forall_{k \geq n_0} [[S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(k)] \Rightarrow S(k+1)]]] \Rightarrow \forall_{n \geq n_1} S(n)$ +-Druga zasada indukcji matematycznej jest wykorzystywana do dowodzenia twierdzeń postaci: $\forall_{n \in \mathbb{Z}^+} S(n)$, takich że zdanie $S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \in \mathbb{Z}^+$. +-|Druga zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$, $n_1 \geq 1$ ma postać: $\left[ \forall_{k \geq n_1} [[ S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(k) ] \Rightarrow S(k+1)] \land [S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(n_1)] \right] \Rightarrow \forall_{n \geq n_1} S(n)$ +-Jeśli w dowodzie kroku indukcyjnego wykorzystuje się założenie o prawdziwości tylko jednego ze zdań $S(x)$ poprzedzających zdanie $S(k+1)$, $x \leq k$, to w pierwszej zasadzie twierdzenia wystarczy pierwsza zasada indukcji matematycznej. +-W pierwszej zasadzie indukcji matematycznej z prawdziwości warunku początkowego lub kroku indukcyjnego wynika prawdziwość hipotezy indukcyjnej. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_n = ca_0^n$, $c$ oznacza pewną stałą i $n \in \mathbb{N}$. +- Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o pierwiastku podwójnym ma postać $a_n = c_1 r^n + c_2 n r^n$, gdzie $c_1$ i $c_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu. +-| Pełna definicja ciągu opisanego zależnością rekurencyjną rzędu $k$-tego musi zawierać wartości $k$ kolejnych (np. początkowych) elementów tego ciągu. +- Zależność rekurencyjna postaci $c_{n} a_{n} + c_{n-1} a_{n-1} + \ldots + c_k a_{k} = 0$, gdzie $c_{i}$ dla $i = n, \ldots, k$ są pewnymi stałymi rzeczywistymi, $c_{n} \neq 0$ i $c_{k} \neq 0$ nazywamy liniową jednorodną zależnością rekurencyjną rzędu k-tego ze stałymi współczynnikami. +- Każdy pierwiastek pojedynczy $r$ równania charakterystycznego wprowadza do rozwiązania liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej ze stałymi współczynnikami rzędu $k \geq 2$ czynnik $r c^n$, gdzie $c$ jest pewną stałą, którą można wyznaczyć w oparciu o początkowe wyrazy ciągu. + +Zależność rekurencyjna $(a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_{n+1} = 3a_{n-2} = 3n \text{ dla } n \geq 2)$ jest zależnością rekurencyjną: +-| liniową ze stałymi współczynnikami rzędu trzeciego niejednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego jednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego niejednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu pierwszego jednorodną. +- liniową ze stałymi współczynnikami rzędu trzeciego jednorodną. + +Zależność rekurencyjna $(a_0 = 1, a_1 = 2, na_{n} + 3a_{n-1} - a_{n-2} = 0 \text{ dla } n \geq 2)$ jest zależnością: +- niejednorodną. +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym. +-| nieliniową. +-| która nie może być rozwiązywana metodą równania charakterystycznego. +- dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +-| Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$ niepustych rozłącznych podzbiorów są nie większe niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ niepustych cyklach. +- Definicja rekurencyjna liczb Stirlinga drugiego rodzaju zawiera zależność postaci: $S(n, k) = S(n-1, k) + k \cdot S(n-1, k-1)$, a definicja rekurencyjna liczb Stirlinga pierwszego rodzaju: $s(n, k) = s(n-1, k) + (n-1) \cdot s(n-1, k-1)$ $(\text{gdzíe n} > 0, k > 0)$. +- Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle\left\langle {n \atop k} \right\rangle\right\rangle$ oznaczają liczbę permutacji z powtórzeniami multizbioru $\{1, 1, 2, 2, \ldots, k, k\}$ zawierających $n$ wzniesień. +- Liczby harmoniczne pierwszego rzędu tworzą ciąg zbieżny do pewnej granicy, ponieważ zgodnie z definicją rekurencyjną każda kolejna liczba $H_{n+1}$ powstaje z poprzedniej liczby $H_n$ przez dodanie ułamka $\frac{1}{n+1}$. +- W systemie liczbowym Fibonacciego, zbudowanym w oparciu o twierdzenie Zeckendorfa, do jednoznacznej reprezentacji liczb całkowitych dodatnich wykorzystuje się wszystkie liczby Fibonacciego $F_k$, dla $k \geq 0$. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Liczby harmoniczne rzędu $r$, dla $r > 1$, tworzą ciąg rozbieżny. +- W ciągu liczby Stirlinga drugiego rodzaju mogą pojawić się liczby niebędące liczbami całkowitymi. +-| Każdej $n$-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewien układ cykli i każdemu układowi cykli odpowiada pewna $n$-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego. +- Liczby Fibonacciego są liczbami opisanymi zależnością rekurencyjną rzędu trzeciego, ponieważ w definicji występują trzy elementy ciągu. +- Liczby Eulera związane są z liczbą cykli Eulera w grafie. + +Poprawna zasada włączania i wyłączania dla 3 dowolnych zbiorów ma postać: +- $|A_1 \cap A_2 \cap A_3| = |A_1| \cdot |A_2| \cdot |A_3|$ +- $|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cup A_2| - |A_1 \cup A_3| - |A_2 \cup A_3| + |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$ +- $|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$ +-| $|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$ +- $|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$ + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Zasada włączania i wyłączania mówi, że liczba elementów pewnego zbioru $S$, $|S| = N$, które nie spełniają żadnego z warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, jest równa $N = N - N(c_1) - N(c_2) - ... - N(c_t)$, gdzie $N(c_i)$ oznacza liczbę elementów $S$ spełniających warunek $c_i$. +-| Zasada włączania i wyłączania dla zbioru $S$ i warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, spełnionych przez pewne elementy ze zbioru $S$ ma postać: $N(\overline{c_1, c_2, \dots, c_t}) = |S| - \sum_{1 \leq i \leq t} N(c_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq t} N(c_i, c_j) - \sum_{1 \leq i < j < k \leq t} N(c_i, c_j, c_k) + ... + (-1)^t N(c_1, c_2, \dots, c_t)$. +- Zasada włączania i wyłączania w postaci alternatywnej dotyczy pewnego zbioru $S$, dla którego zdefiniowane są warunki $c_i$, $1 \leq i \leq t$, które muszą być spełnione przez wszystkie elementy zbioru $S$. +- Symbol $N(c_i c_j)$ występujący w zasadzie włączania i wyłączania oznacza liczbę elementów ze zbioru $S$ spełniających warunki $c_i \land c_j$ i równocześnie niespełniających pozostałych warunków $c_k$ ($1 \leq i, j \leq t$, $k \neq i$, $k \neq j$). +- Dowód zasady włączania i wyłączania w postaci alternatywnej jest oparty o prawa teorii mnogości. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to każdy z tych podzbiorów zawiera $|S|/k$ elementów lub więcej. +- Dowód zasady szufladkowej Dirichleta wykorzystuje pojęcie uporządkowanego podziału zbioru. +- „Klasyczna” zasada szufladkowa Dirichleta w żaden sposób nie wynika z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta, ponieważ dotyczy zbiorów o odmiennych własnościach. +-| Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to średnia liczność tych zbiorów wynosi $|S|/k$. +- Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, \dots, A_k$ będących rozłącznymi podzbiorami pewnego skończonego zbioru $S$. + +Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ będących podzbiorami zbioru $10$ elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do dokładnie $4$ podzbiorów: +-| wynosi dokładnie $8$. +- wynosi dokładnie $10$. +- wynosi mniej niż $8$. +- wynosi co najmniej $10$. +- nie może być określona. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Każda macierz o wymiarze $p \times q$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $\min(p, q) < n$, w której w żadnym wierszu elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim. +-| Rozszerzanie prostokąta łacińskiego $p \times n$ o jeden wiersz wymaga wyznaczenia dowolnego systemu różnych reprezentantów rodziny zbiorów $\{A_1, \dots, A_n\}$, gdzie zbiór $A_i$ zawiera elementy dotychczas niewystępujące w kolumnie $i$ ($1 \leq i \leq n$). +- Rozszerzając prostokąt łaciński $p \times q$, do kwadratu $n \times n$ należy w nowej kolumnie umieścić wszystkie elementy $i = 1, \dots, n$, dla których liczba wystąpień spełnia warunek $L(i) > p + q - n$. +- Pewne prostokąty łacińskie $p \times n$, w których liczba wystąpień niektórych elementów jest zbyt mała, nie mogą być rozszerzone do kwadratu łacińskiego $n \times n$. +- Kwadratem grecko-łacińskim, czyli kwadratem Eulera, nazywamy złożenie dwóch dowolnych kwadratów łacińskich o takim samym rozmiarze. + +Zaznacz zdania prawdziwe: +- Wielomian szachowy $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$, to funkcja, której wartość oznacza liczbę możliwych rozmieszczeń $n$ wzajemnie nieatakujących się wież na szachownicy o wymiarze $x \times x$. +- Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C$ i $D$, to wówczas $r_B(x) = r_C(x) + r_D(x)$. +-| Jeśli w wielomianie szachowym $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$ dla szachownicy $B$ o wymiarze $n \times n$ współczynnik $r_n = 0$, to na szachownicy $B$ nie można rozmieścić $n$ wzajemnie nieatakujących się wież. +- Dekompzycja wielomianów szachowych jest możliwa wyłącznie wówczas, jeśli daną szachownicę można podzielić na dwa rozłączne obszary niemające wspólnych wierszy ani kolumn. +- Szachownicę $B$ można zdekomponować, poprzez wybór pewnego pola dopuszczalnego $s$, na dwie szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ niedostępny jest wiersz, a w $B^2$ niedostępna jest kolumna zawierająca pole $s$. + +Zaznacz funkcję tworzącą, która może być wielomianem szachowym pewnej szachownicy o wymiarze $5 \times 5$: +- $r_B(x) = 2 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$. +-| $r_B(x) = 1 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$. +- $r_B(x) = 1 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 1x^6$. +- $r_B(x) = 1 + 26x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$. +- $r_B(x) = 0 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$. + diff --git a/tools/validate_qaml.php b/tools/validate_qaml.php new file mode 100644 index 0000000..4a2ab3d --- /dev/null +++ b/tools/validate_qaml.php @@ -0,0 +1,90 @@ + $rawLine) { + $lineNo = $i + 1; + $line = trim($rawLine); + + if ($line === '' || str_starts_with($line, '//')) { + continue; + } + + if (!str_starts_with($line, '-')) { + $finishQuestion(); + $question = $line; + $questionLine = $lineNo; + continue; + } + + if ($question === null) { + $errors[] = "Line {$lineNo}: answer appears before any question."; + continue; + } + + if (str_starts_with($line, '-|')) { + $answer = trim(substr($line, 2)); + } else { + $answer = trim(substr($line, 1)); + } + + if ($answer === '') { + $errors[] = "Line {$lineNo}: answer is empty."; + } + + $answers++; +} + +$finishQuestion(); + +$content = file_get_contents($path) ?: ''; +preg_match_all('/]*src=["\']([^"\']+)["\'][^>]*>/i', $content, $matches); +foreach ($matches[1] ?? [] as $src) { + if (str_starts_with($src, 'img/') && !is_file($baseDir . '/' . $src)) { + $errors[] = "Missing image referenced from pytania.txt: {$src}"; + } +} + +if ($questionCount === 0) { + $errors[] = 'No questions found.'; +} + +if ($errors !== []) { + foreach ($errors as $error) { + fwrite(STDERR, $error . PHP_EOL); + } + exit(1); +} + +echo "OK: {$questionCount} questions validated.\n";